ページ1:

パターン1 〔整数問題 〕
教科書(東京書籍)
問2つの続いた偶数の積に1を加えた数は奇数になることを証明しなさい。
【解答】
偶数は 2n, 奇数は 2n+1で表せるよ♪
2つの続いた偶数は, 整数 n を使って次のように表される。
2n, 2n+2
この2つの続いた偶数の積に1を加えると
2n(2n+2)+1=4n²+4n+1
=2(2n²+2n) +1 * 2 (整数) + 1 は奇数
2n² +2n は整数だから,2(2n2+2n)+1は奇数である。
したがって、2つの続いた偶数の積に1を加えた数は奇数になる。

ページ2:

パターン1 〔整数問題 〕
教科書 (東京書籍)
問.2つの続いた整数では, 大きい数の平方から小さい数の平方をひいたときの
差は,どんな数になるか予想しなさい。 また, それが成り立つことを証明
しなさい。
22-12=3, 32-22=5, 42-32=7.
•
D
【解答】 2つの続いた整数では,大きい数の平方から小さい数の平方を
ひいたときの差は, 『奇数』 になると予想される。
<証明 > n を整数とすると, 2つの続いた整数は
n, n+1
と表せるので、大きい数の平方から小さい数の平方をひくと
(n+1)^n=n²+2n+1-n2
=2n+1
n は整数だから, 2n+1は奇数である。
したがって、2つの続いた整数では,大きい数の平方から
小さい数の平方をひいたときの差は, 奇数である。

ページ3:

パターン1 〔整数問題 〕
教科書(東京書籍)
問3つの続いた自然数をそれぞれ2乗してできる数をすべて加え,それを
3でわります。 そのときの余りを求めなさい。
※3つの続いた整数は n, n +1, n+2 って表せるね♪
【解答】 n を整数とすると, 3つの続いた整数は
n,n+1,n+2
と表せる。 それぞれ2乗してできる数をすべて加えると
n2+(n+1)^+(n+2)²=n²+n²+2n+1+n²+4n+4
=3n²+6n+5
= (3n²+6n+3)+2
=3(n2+2n+1) + 2
n は整数だから,3(n²+2n+1)+2は3の倍数に2を加えた数を
表す。
したがって、3つの続いた自然数をそれぞれ2乗してできる数をすべて
加え,それを3でわったときのあまりは2である。

ページ4:

パターン1 〔整数問題〕
教科書(大日本図書)
問. 連続する2つの奇数の積に1を加えるとある数の2乗になる。このことを
文字を使って証明しなさい。
連続する奇数は 2n +1 と 2n+3って表せるよ♪
【解答】 n を整数とすると, 連続する2つの奇数は
2n+1,2n+3
と表せるので,これらの積に1を加えると
(2n+1)(2n+3)+1=4n²+8n+3 +1
=4m² +8n+4
=4(n²+2n+1)
=2x(n+1)^
={2(n+1)}
したがって, n は整数だから連続する2つの奇数の積に1を加えると
ある数の2乗になる。

ページ5:

パターン1〔整数問題〕
教科書(大日本図書)
問 奇数と奇数との積は奇数であることを, 文字を使って証明しなさい。
2つの奇数は別の数だから別の文字を使って表すよ♪
【解答】 m, nを整数とすると、 2つの奇数は
2m+1,2n+1
と表せるので,これらの積は
(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1
=2(2mn+m+n)+1 *2( )+1 は奇数
である。m, n は整数だから, 2(2mn+m+n) +1は奇数である。
したがって, 奇数と奇数との積は奇数である。

ページ6:

パターン1〔整数問題〕
教科書 (大日本図書)
問. 連続する3つの整数で、真ん中の整数の2乗から1をひいた数は, 残りの
2つの数の積に等しいことを, 文字を使って証明しなさい。
【解答】 nを整数とすると, 連続する3つの整数は
n, n+1,n+2
と表せるので,真ん中の整数の2乗から1をひくと
(n+1)^ -1 = n²+2n+1-1
=n2+2n
=n(n+1)
となり,これは残りの2つの数の積を表す。
したがって, 連続する3つの整数で,真ん中の整数の2乗から1を
ひいた数は,残りの2つの数の積に等しい。

ページ7:

パターン1〔整数問題〕
教科書(大日本図書)
問7でわると4余る整数があります。 この整数の2乗を7でわると, 余りは
いくつになりますか。 また, それはなぜですか。
7でわると4余る整数は7n+4 と表せるね♪
【解答】 nを整数とすると, 7でわると4余る整数は7n + 4 と表せるので
この整数の2乗を計算すると
(7n+4)²=49n²+56n + 16
16を14と2
にわける♪
=(49n²+56n+14)+ 2
=7(7n²+8n+2) + 2
n は整数だから, 7(7η²+8n+2)+2は7でわると2余る整数を
表している。
したがって, 7でわると4余る整数の2乗を7でわったときの余りは
2である。

ページ8:

パターン2 〔図形の問題
教科書(東京書籍)
問1辺がamの正方形の土地がある。 この土地の縦を5m長くし, 横を5m
短くして長方形の土地を作ったとき, もとの正方形の土地は,長方形の
土地よりどれだけ大きいか, 求めなさい。
長方形の土地の縦の長さと横の長さを文字を使って表してみよう♪
【解答】
1辺が am の土地の面積は axa=a2. ①
縦を5m長くして横を5m短くした長方形の土地の面積は
(a+5)x(a-5)=a2-25...②
① ② より
a²-(a2-25)=25
答え 25m²

ページ9:

パターン2 〔図形の問題〕
教科書(東京書籍)
問。 右の図のような半径rmの円形の土地の
周囲に,幅amの道があります。
(1)この道の真ん中を通る線の長さを
lm とするとき, l を,rとa を使
った式で表しなさい。
(2)この道の面積を Sm² とするとき,
S = al となります。 このことを証
明しなさい。
-rm am
lm
l の式変形してSと等しくなるようにするよ♪
【解答】
a
(1) lは半径(r + -)mの円の円周だから
a
l=2xx(r+ = 2πr+ Ta
(2)Sは,いちばん大きい円の面積(=S大) からいちばん小さい円
の面積(=S小) をひけばよいので
よって
S大=πx(r+α)²=πr2+2πar+ Ta2
S小=πxr2= πr 2
S=S大-S小=(πr2+2πar+πa²) -πr2=2πar+ Ta
ここで,(1)より
2
l = 2πr + πa
両辺に a をかけると
2
al = 2πar + Ta
この等式の右辺はSと等しいので
S = al
等しい!

ページ10:

パターン2 〔図形の問題〕
教科書(大日本図書)
lm
問. 右の図のように幅amの道に囲まれた
正方形の池があります。 正方形の池の
一辺の長さを pm, 道の真ん中を通る
線の長さをlm, 道の面積をSm²とす
るとき, S=al となることを証明しな
さい。
pm
am
l の式とSの式を表して, l の式をいじるよ♪
【証明】
a a
破線の正方形の1辺の長さはp +
+ =
2 2
= (p+a) m
よって, l =(p+a)×4=4p+4a・・・①
一方,
S大=(p+2a)x(p+2a)=p^+ 4ap + 4a2
S小=pxp=p2
よって,S=S大-S 小 = (p^+4ap+4a²)-p²=4ap+4a2
①より
l=4p+4a
2
両辺にaをかけると al = 4ap + 4a'..②
②の右辺はSと等しいので
S = al
Sm²

ページ11:

パターン2 〔図形の問題〕
教科書(大日本図書)
問. 半径amの円形の花壇の中に, 半径がそれ
より8m 短い円形の池を作りました。
花壇
池をのぞいた花壇の面積を, a を使った式
で表しなさい。
池
また, a = 10 のときの花壇の面積を求め
am
なさい。
【解答】
円の面積は(半径) × (半径)×(円周率)
花壇:半径amの円の面積は
axaxa= Ma... 1
池: 半径a-8の円の面積は
(a-8)x(a-8)×π=za² -16πa +64・・・②
したがって,池をのぞいた花壇の面積は ① ② より
16a-64
また, a = 10 のとき, 花壇の面積は上の式に値を代入すると
16×10-64=96m²

ページ12:

パターン2 〔図形の問題〕
教科書(大日本図書)
問. 右の図のように, 線分AB を直径とする
円があります。 直径AB上に点Cをとり、
線分AC, CB をそれぞれ直径とする半円
をかき、図のように, 色のついた部分 S
とそれ以外の部分Tの2つの部分に分け
ました。
C
A
S
B
T
AC = 2a,CB=2b とするとき,次の(1),(2)
に答えなさい。
(1) AB を直径とする円の面積を a, b を使った式で表しなさい。
(2)SとTの面積をそれぞれ求めなさい。
お絵かきしてみよう♪
【解答例】
(1) AB=2a+26= 2(a+b)
だから半径は a + b
よってAB を直径とする円の
面積は
π(a+b)2
(2) Sを図のように①と②に分け
S
T
b
B
る。
a
①=na²÷2= π ②
(a+b)2
b²
a² +2ab
-π =
TT
2
2
2
2
よってS=①+②= ra² + rab = πa(a+b)…③
また,Tは(1)の面積からSを引いたものなので
T=π(a+b)^-πa(a+b)
=(a+b)(πa+πb-πa)
=πb(a+b)