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MICKEY
MOUSE
コター試験 私立大学 第1章 場合の数と確立
第1節
場合の数
①集合の要素の個数
ベン図6
ex A={1,2,3,4,5,6}のとき、n (A)=6
※有限集合Aの要素の個数をn(A)と表す。
まとめて
(1)n(AuB)n(A)+n(B)n(AnB)
No.
DATE 414.
()内は集合を表す!
ただし、ABのときn(AUB)=n(A)+n(B)
-U-
0000
U
AUB
A
共通部分が B
(2)n(A)=n(ひ)-n(A)
(3)(AUBUC) (A)+n (B)+n(C)-h(ANB)-h(BNC)-W(CNA)+m(ANBOC
Think (AUBUC)-(AB)-(Bac)-(CaA)-(AnBac)
P16 T, 全体集合をひ、3の倍数の集合をA、5の倍数の集合をBとする
(1)n(AB)
200÷15=13コ
n(ACB)=13」と書く!
A. 131
ちゃんと答えとして別に書く
(2)n (AUB) 200÷3+200÷5-200÷15=93コー
(3)(ĀNB)
200-93=
3=1073.
P.17 Tzn(AUBUC)=66+40+28-13-5-9+1=108
P.19 To 4+3+2+1=10通り
A.108
000,00x0, oxoo, xooo, xxooo XOXOO XOOXO Oxxoo OXOXO O
T4
10通り
×2=12通り
=1 ※1階楽
↑同じものを含む順列
15 3×2×2-1247
※(a-1)(b-1)はa=lかつh=1であるための
必要十分条件である。
A.必要条件
(a-1)(-1)=0 and and hal
90

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USE
「順列・組合せ
① 順列:いくつかのものを順番を考えて並べたもの
No.
DATE
異なるゴの中から、この異なるものを選び、順番を考えて1列に並べる
→コから取り出して並べた順列 「nPr」 ただしorén
Tex D232-6
23
5P3=5.4.3=60
特に、npn=n! cnの階)
3P3=3.2.1.6=3!
ここで、0.1
nPo=1
と定める。
例えば、5P3=5.4.3=60
5.4.3.2.1.3
21-15-3)1
よって、nPr
証明のようなもの
5!
ここで、このときPn===n!
これが成り立つには「0%=1」にならなければいけない。
=3P3=8×7×6=3366P4=6x5×4×3=360) 5P5=5×4×3×2×1(120
52P2=52×51=(50+2)(50+1)=2500+50+100+2=2652)
21116P3-20=100 100コ
(2)一の「0」5×4×1=20
☆5×5×4=1001002とか5×5P2=100 100m
「24」4×4×1x232
(3)百の位「3」十の位「2」
1xx 14.4
百の位「3」+の他「45」
20+32 52 52コ
1×4×2=8
数字を2つ選んだら、1つ選んだときの式の
首の他「4.5」 十の位
最後に2倍する
1×5×4×2=40
4+8+40.52
522円
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BATE
P.27 T13113P3×3P3×4=144 144通り
女子3人 3人 場所
(2)4.×2=48 48通り
(3)31×31×2=7272通り。
第2節 ② いろいろな順列
3P2x41=144
①円順列:異なる個を円形に並べたもの
求め方=(n-1)!
※なんで割るの?
[ex 3人で円陣
TAN B
C&B
その他
BSA AFC 全て同じ並び方!=21:2
(1)同じものを含む順列
全部であり、それぞれのものがPコ、ココあるときの順列
(同じものがいくつかあるときの順列)
!
求め方 plain!... ただし、n=p+qtr...
※なんで「p!g!!」で割るの?
ex,1,2,2,3,3を1列に並べる
すべての場合の数は6!通り。「1」に注目すると、
1 1...
12
11...
よって、貫通り
2×12.通り
but これはダブリ!結局1通りに定まる
同様に量:2!÷2!より21212通り求められる。
「1」「2」「3」
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ICKEY
OUSE
No.
DATE
4·30 wed
復習赤玉5つ、黒玉3コ、白玉2コを1列に並べるとき、全部で何通り?
10!
÷2520
5!3!2!
(A2520通り
(iii) 重複順列 この中から重複を許して並べる順列
n
ex 1.2.3.4を並べて4桁の整数をつくる。
ただし、同じ数を繰り返し使ってもよいとする。全部で何通り?
4×4×4×4.256 A256
節③組合せ
→異なるいつから順番を考えずに並べる
集合と同じ考え方!
ex A.B.C.D.Eから3人選ぶ
普通に考えたら、5P3・5・4・3=60通り
しかし、区別しないで選ばれた3人は3!通り重複する。
よって5P3:31.43=5C3-10
A.10通り
つまり、組合せは次のように定めることができる。
求め方 opp = nCm ただし、Dzrsn
練習①10C1=10通り②33人から10人選ぶ
だけで良い
ABC ACB, BAC, BCA
CAB CBA
33 C1D. 33-32 31 30 29.28-27-26-25-24
=11×31×29×26×24×15
92561040通り わーすばらしい!!
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組合せの計算テクニック
問題のCbを求めなさい 987654
84
654321
ム
9C6-92-84
Point nCranCn-r
との値が近いときに
33T23 (1) 8C2xGC3・28×84=2352
(2)17-3-14 14C2-9191通り
2352通り
34T24 (1)8C2×6C2×4C2(22)=25202520通り
2520
121
2520
あってもなくてもいい
(4. 4.3.2.1 =105 10通り
4部屋の並び方は4!通りだけどこのすべては1つにまとめられるので4!割
T25(1)のC3x6C3=84×20=1680
121680 1680
3 = 3·2·11 =280 280通り
(2)9C2x7C2=36×21-756
5枚 1枚 2枚
2x1=2!37)
[1680通り
756通り
9C2x7C2.378 378
2!

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MICKEY
MOUSE
できるかな?
No.
DATE
Qx+y+z=5を満たす負の数でないxyzは全部で何通り?
X00000
0|||||2222333445
y0123450123401230120lo
z543210432103210210100
例えばdlo〇〇〇
1100000
21通り
つまりこの問題は7コ(0:5ゴウ13種類-1)を並べる問題と同じである。
よって、以下のように定めることができる。
n+r-1 C
3+5-1C5=7Cs(enC2)
21
21通り
まとめん種類から重複を許してトコ選ぶ組合わせを
「重複組合せ」という!
第3節 確立
順列組合せ
①確立とは?
試行:同じ条件のもとで繰り返し行うことができること
事象:試行の結果、起こる事柄
根元事象:それ以上分けることのできない事象
ex コインを投げるときの根元事
「表が出る」「裏が出る」
全事象:根元事象の全体からなる事象 [全体集合]
空事象:空集合で表される事象[中](空集合〕
→決して起こらない事象
確からしさ ex サイコロを振るときの空事象は「7の目が出る」
確立の定義
全事象に含まれる根元事象のどれが起こることも同じ程度に期待できると
これらの根元事象は同様に確からしい
このとき全体集合に含まれる根元事象の個数をn(ひ)
事象Aに含まれる根元事象の個数をn(A)とすると、
確立P(A)=
n(A)
事象Aの起こる場合の数
(2)
起こり得る全ての場合の数

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DATE
P.44 T30 3/3
T
P.45 T in t. 7,121 7. 5,
4+1
TM 2x2x2x2
Tat
6+5+4+3+2+1
217
645
NME
MOUSE
※確立を求めるときは「分子」に注意
つまり、場合の数の定着が必須
高3演習問題(センター問題)
赤玉2 白玉2つの入った袋から2つ取り出す試行をAとする。繰り返すときは玉を戻す。
試行Aを1回行ったとき、赤玉2つの確率と白玉2つの確率はともにであり、
赤玉と白玉が1つずつ取り出される確率は当である
(2)試行Aを4回繰り返すとき、取り出される赤玉の合計がワコとなる確率は
(11赤 or 白222
4C2
6
赤22
P46 Ta6C2x5C21×5=105
C3=220
105/21
220
根元事象 →すべて区別する
Tan 33-27
あいこ 4
全員同じ:1+1+1=3
3+6
・異なる3P3=31=6
33
3
Oleney

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EKEY
DUSE
121確率の計算テクニック
①知事象・共通事
事象ABにおいて
「A.Bのどちらも起こる」「AかBの少なくとも一方が起こる」
「共通事象」 AOB
「和事象」 AUB
「事」
No.
DATE
②余事象[補集合]
事象Aが起こらない→Aの余事象A P(A)=1-P(A)
3つのサイコロを同時に振るときに、少なくとも1つが1の目が出る確率は?
余事象を使わない
63.216
3C₁ = 75
91
3C2-15 3C3+1 295,
①⑤ 5×3=75
1
2
2
⑩①②×3=15
①①①1
112
4
4
b 6
b
余事象の目が出ない
125
5×5×5=216
※「少なくとも」は余事象を使え!!!
事象が2つ以上
41
③排反事象: 互いに排反である事象 事象AとBが排反である
(2つは同時に起こらない
→事象Aが起こると、事魚は起こらない P(AB=D
※事象ABが排反ならばP(AUB)、P(A)+P(B)確率における「加法定理
④ 52枚のトランプから1枚引く。次の事象のどの2つの組合せが排反事象か、
a エースが出る
b ハートが出る
A. arc brd
クイーンが出る d ダイヤが出る
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No.
DATE
NE
ZMOUSE
方→各試行の確立の精 独立である→従属してない→無関係
ex T:Aがくじを引く TBがくじを引く
○Aがくじを引いて戻す→TとT2は独立である
○Aがくじを引いて戻さない→T」とは独立でない
⑤反復試行・同じ条件のもとで独立である試行を何回か繰り返す
事象Aが起こる確率Pである試行を回繰り返して回得られる確率
mCrxpix(1-P)カード
1つのサイコロを5回投げる。このとき1の目が2回でる確率
S1の目が出る
(1以外の目が出る喜
例えば
5C
口口口
はずれ
625
A
P.51 T40 9C3=84 4C3:4 4C2× 5C₁-30 34+A
全事会
本当たり
2才ね。
P52 T4 CoxCx4C zx a Cz x a Ca - 1x 4 x 6x4x1·96
少なくとも1枚が表すべマグラ
すべてが裏になる確立は32
したがって、求める確立は13・量
2つの試行は独立なので
4C 19 この絶対!
少なくとも1枚が表である事象の余事
すべてが裏になる。この一言を先に入れる
Tex12x3/
T

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CKEY
OUSE
DATE
■出る目の最小値が4=出る目が4以上出る目が5以上①1
(部
Bが優勝する条件
①2勝0敗
②2勝1敗
216
②2C.(2)(3)×3=1
条件つき確率
2戦目
・
期末メイン
全事象の中の2つの事象ABについてAが起こったことが分かったとして、このとき
Bが起こる確率をAが起こったときのBの条件つき確率とき、Po(B)と表す
PA(B)(AL
EX 1組52枚のトランプの中から1枚ずつ2回ひく。ただし、ひいたトランプは戻さない。
このとき、2枚ともクローバーである確率は?
1回目「52枚からクローバーをひく」 ④
C= P(A)
2回目「51枚からクローバーをひく」 B
・PA(B)
A.
まとめ確率の乗法定理
P(AnB)=P(AMPa(B)
かつ」「または」の判断ができれば問題なし
① 1コのサイコロを投げるとき、奇数の目が出る事象をA.2以下の目が出る事象を
Bとする。このとき、PA(B)=P(B)を示せ。
証明 A-{1.3.5} B={1.2}
P(B) =
P(B)・1/12/
よって、Pa(B)のときる3P(B)のとき言なのでPa(B)=P(B)//
証明 P(B)=1/6=3-①
PA(B)=3/ -@ 奇数かつ2以下
①.②よりP(B)=PA(B)/
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NICKEY
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序章
「1集合と要素
①A={1,2,3,6,9,18}←要素が書き出せる
A={x1Xは18の正の約数}←書きだすことが困難
②aEA属する
aGA属さない
3={x1x2=9}
x=±3
2年{x1x2=9}
③要素の個数が数えられる
→有限集合
要素の個数が数えられない
→無限集合
④sの要素はすべての要素
→SはTの部分集合
※SCTかつ TCS
SCT
S=T
⑤いくつかの集合を考えるとき、その全体の集合
→全体集合
要素が1つもない
→空集合
(アイ)
No.
DATE 4.
全体集合ひが何を表すのかを確認すること!
2 集合どうしの演算 ベン図を用いる!
or
ABAとの共通部分 ② -v
Finio
AとBの和集合
ANB
AUB
③
Aの補集合
※AVAV
A
ANA中
U
3 ド・モルガンの法則
AUB ANB
②AnB=AUB