ページ1:

2章 整数の性質
1.節約数と倍数
1 約数と倍数
1.2.3....
正の整数または自然数
-1,-2,-3.
夏の整数
整数
0
整数a.bcbto)に対して
a=bc
aはbで割り切れるといい。
baの約数、alの倍数という。
となる整数があるとき
例1
6
2×3 より
26の倍数
6=(-2)×1-3)より-2も6の倍数
より
-6=2×(-3)より
6は2の倍数
-6も2の倍数
8の正の約数は1.2.4.8
例2
6
=
2x3
例3
問1
8の正の倍数は8,16,24,32,40
12の正の約数をすべて求めよ。また、12
の正の倍数のうち50以下のものをすべて求めよ。
正の約数
正の倍数
T
2
3、4、6、12
12.24. 36,48
(50以下)

ページ2:

<いろいろな数の倍数>
◎倍数の判定法
2の倍数:
の位が0
2.4.6.8
3の倍数:各位の数の和が3の倍数
4の倍数:下2桁が4の倍数
5の倍数:
一の位が0.5
6 の倍数:2の倍数かつ3の倍数
8 の倍数:下3桁が8の倍数
9の倍数:各位の数の和が9の倍数
例4 (1) 1430は
(2)1587は各位の和21より3の倍数
一の位が0より
2.5の倍数
→2の倍数
9の倍数ではない。
(3). 4132は下2桁32より4の倍数
(4)4134は一の位が4より2の倍数
また各位の和12より3の倍数
さらに
6の倍数でもある。
(5) 9104は下3桁104が8の倍数。
問2 次の整数は2,3,4,5,6,8.9のうちど
の倍数か。
(1) 462
(2)6825
(3) 10296
<素因数分解と因数>
2.3.6 の倍数
3.5の倍数
2.3.4.6.8.9の倍数
(2,3,5,7,…)
素数
正の整数
合成数
因数:約数
(4.6.8.9.
い
因数が素数・素因数
素因数分解:素数の積の形で表す

ページ3:

例5420を素因数分解する
420=22・3・5・7
2420
2/210
問3 素因数分解せよ
3.11.05
5.135
(1) 175
52.7
(2) 243
35
(3)1800=23.32.52
例6 108の正の約数を求める。
10.8=22.33 より
2°の正の約数は
L
3の正の約数は
2
2.2
1.3. 3 33
2の約数のおのおのに33の約数をか
それぞれ掛ける。
よって
1,2,3,4.6.9.12
18. 27, 36.54
108.
問4 正の約数を求めよ
(1) 45
45=32.5
よって1,3,5,9,1545
(2) 196.
196=272
よって、1.2.4.7 14.28,49.98.196
例7ab=5を満たす整数a,bの組
<約数の利用>
Sa=l
b=5,
{a
b=1.1b=-5.
h
a=5sa=-1
sa=-1 Sa
b
〃
5
-1
2
5.
2
ト
2.
2

ページ4:

問5次の関係を満たす整数a,bの組をすべ
て求めよ。
(1) ab = 3
{ a = 13
=3
(2) ah = 6
1 h = 6.
Sa=1
Th
a = -1
h=-6
Sa
3
a-3 {a--1 {a. -}
==
3
3. Sa = b
{
h = 1.
h
h = 3.
h = 2
a=-2
h=1
Sa
--3
h
=-2
h=-1
Sa=2
a
-
-
b
例題1 ab+3a+2a=1を満たす整数
a.b の組をすべて求めよ。
ah + 3a + 2h
=
1 より
ah + 3 a + 2h+6=1+6.
(a + 2 ) ( h+3)= 7
a.bが整数なので
a+2
a+3は7の倍数。
よって、
2+2
=
+ 3 = 7
{
Q+2=-1
h+3=-7
したがって、{ac-l
h = 4
-3
{a^2=-10
{a+2=7
h+3=1
a+2=-7.
+3=-1
a=5
h=-2
50=-9
h = -4
となる。

ページ5:

問6 次の関係を満たす整数a,bの
組をすべて求めよ
(1) ab+4a+2b=3..
。
B:
より
=3+8
ab+4a+2b=3
aa+4a+2ℓ+8
3:
(a+2) (b+4)=11
a+2.b+4がいの倍数なので
a+2
b+4
a+2
i=
b+4
したがって、
Sam
Sat2
い
+41
a+2=
-11
b=7
a
-
3
b+4=-1
b=-151
(2) ab+2a-3b
=
10.
ab+2a-3b = 10
a
b
=
=
a =
li
より
=
ab+2a-3b-610-6
(a-3)(+2)=14
a-3.b+2が4の倍数なので
sa-3=1
b+2=4
a-3
=
2
9
-3
13.
-5
b+2=2
-
3
b+2=-4
a
3 =
4
a
bt2=1
a-30
=
2
2
したがって、
a
b
a
=
4
2
ク
h = -L
a-3
b+2
=
-
Sa
-4
-1
5
b
Sa
11
=
"
0
2
b
6
a =
h = -4
a =
-1
b
=
3.

ページ6:

2. 最大公約数と最小公倍数
P62 <公約数と最大公約数>
2つ以上の正の整数に共通な約数:公約数
またこれらのうちで最大のものを最大公約数という。
12と18の公約数は
12の約数
18の約数
1.2. 3.6
最大公約数
2つの正の整数
a.bの最大公約
例8
12180
数が1
の
とき
公約数
aとbは
互いに素であるという。
252と270の最大公約数を求めよう。
252
270
=22.32.7
2 33.5
=
2つの数に共通した素因数を取り出
して、それらを掛け合わせる。
よって 2.32
こ
118
問7 次の2つの数の最大公約数を求めよ
(1)
56,140
56=23.7
140 = 22.5.7
。
よって22.7
28
(2) 165, 360.
165=3.5
28.
360
5
よって
3.5
こ
15
12.2.3.3.7
m
・3.3.3.5
山
2.3.3=18

ページ7:

(3)
275.312
275
5
11
312=
23.3.13.
よって、
例題2 縦84cm横90cm の長方形の
壁を
できるだけ大きなタイル
ですき間なく敷き詰めるとき
タイル1辺の長さを求めよ。
'
最も大きいタイルの1辺の長さ
問8
→壁の縦、横の長さの最大公約数
8.4
90
3.7
2 32.5
よって最大公約数は
2.3
=
6
したがって、タイル1辺の長さは6cm
180冊のノートと315本の鉛筆を余
りがないように、同じ数ずつ多くの
子どもに分けるときの 子どもの人
数を求めよ
180
°
22.32.5
315=32.5.7
よって最大公約数は32.5=45
したがって子どもの人数は
45人.
2/84
90
42
45
14
15

ページ8:

<公倍数と最小公倍数>
2つ以上の正の整数に共通な倍数:公倍数
またこれらのうちで最小のものを最小公倍数という。
4.と6の公倍数は
4の倍数
6の倍数
24.36
最小公倍数
4と6の公倍数
例984と120の最小公倍数を求めよう。
84 = 2.3.7.
120=2.3.5
2つの数に共通していない素因数も
取り出してそれらを掛け合わせる。
よって23・3・5.7=840
問9 次の2つの数の最小公倍数を求めよ。
(1) 16.
28.
23.2
↓
23.3.5.7
= 8404
16
28
よって
=
24.
2.7
こ
112
24.7
(2) 168, 196
168 = 23.3.17
196
よって、23.3.72=1176
(3) 450,980
450
2:3
52
980=22.5,7
よって、22.32.52744,100

ページ9:

例題3 縦12cm、
縦12cm、横9cmの長方形の紙を
同じ向きに並べて正方形をつく
るとき、つくることができる正方形
のうち、最も小さいものの1辺の
長さを求めよ。
最も小さい正方形の1辺の長さ
→長方形の紙の縦、横の長さの最小公倍数
12
=
2
9
=
3
2
3
よって最小公倍数は2.3=36
したがって正方形1辺の長さは36cm
°
問10 ある駅から電車は8分ごとに、バ
スは14分ごとに発車する。午
前9時ちょうどに電車とバスが
同時に発車したこのとき、次に
電車とバスが同時に発車す
る時刻を求めよ。
8
14
=
3
2
21
ク
よって最小公倍数は23.7=56
次に同時に発車するのは56分後
したがって
9時56分。
であるので
<最大公約数と最小公倍数の性質>
2つの整数a,bの
最大公約数をg、最小公倍数をlとすると.
[1] a = ag
b=bg
ag b
ただしaとbは互いに素
②l=alg.
[3] gl = ab
gl=ab

ページ10:

例10積が1080で最小公倍数が180であ
るような2つの正の整数の最大公約数を
求めてみよう。
'g· 180 =
1080
180g=1080
g=6
よって最大公約数は6である。
問1積が6300で最小公倍数が420であ
るような2つの正の整数の最大公約数を
求めよ。
g420
6300
420g
6300
g=15
よって、最大公約数は15である。
例題4 和が54で、最大公約数が6であ
るような2つの正の整数の組をず
べて求めよ
求める2つの整数をa.bcasb)とする。
最大公約数が6なので
a=
6a
b=bl
ただしaとbは互いに素でa'sbである。
またa+b=54 より
6g+60=54.
a+b= 9
②を満たすのはSalsa=2
a
1h=8
h = 7
b=5
求める2つの正の整数の組は①より
6と48, 12と42, 24と30

ページ11:

問12 和が192で、最大公約数が12であ
2つの正の整数の組をす
るような
べて求めよ。
求める2つの整数をa.bCash)とする。
最大公約数が12.なので
a = 12a, b=12b.
⑦
ただし aとbは互いに素でalである。
また
atb
2
1.92
より
120+120=192
a+b
=
16
②を満たすのは!
a =
Sá
3
b
こ
15
5
b=13
ク
a
lí
い
よって①より
12と
180
60と132
84
b=9
36と156
108
Date

ページ12:

Thank you for reading.
ハート等よろしくお願いします

ページ13:

2節 ユークリッドの互除法と不定方程式
1.除法の整質と整数の分類
・〈際法の性質>
問1
77を6で割ると、商は12.余りは5
つまり
77=6×12+5
◎除法の性質
と表せる。
aを整数を整数とし、arbで
割ったときの商を、余りをとすると、
a=bqtr
or<b
aebで割ったときの商余りと
a = bq+rの形で表せ。
を求め、
(1) a=41
b=9
41÷9
2
4
5
9=4.r=5
4.19×4+5
(2) a=108,
b=14
108÷14=
7.10
<整数の分類>
q=7.r=10
108=14×7+10
○
偶数 奇数
友を整数として偶数
2k
奇数2k+1 と表せる。
偶数
-2.0.2.4.
奇数・・・
b
-1.1.3.5.7
7,
すべての整数は正の整数で割ったときの
余りによって分類すると
mlembe+l.mk+2
(kは整数)
m+(m-1)
と表すことができる。

ページ14:

例 すべての整数を5で割ったときの余で分類する。
5k.5k+1.5k+2.5k+3.5k+4
(右は整数)
問2 すべての整数を6で割ったときの余で分類せよ。
6k.6k+1.6k+2.6kt3.6k+4.
(kは整数)
6k+5
例2 整数nについて、パを4で割ったときの余
りは0または1であることを示す。
問3
整数を4で割ったときの余りによって分類すると
4k,4k+1.4k+2.4k+3(は整数)
また、それぞれの場合について
n² = (4k)² = 4 × 4k²
w²=(4k+1)=4(4k+2k)+1
n² = ( 4k+2)^ = 4 ( 4k² + 2k + 1,
• n² = (4k+ 3 ) 2² = 4 ( 4k² + 2k + 1). +)
したがって、を4で割ったときの余りは
0または1である
。
整数nについてを5で割ったときの余り
1.0.1.4のいずれかであることを示せ。
整数を5で割ったときの余りによって分類すると
5k.5k+1.5k+2,5k+3.5k+4(kは整数)
また、それぞれの場合について
2
✓² = (5)² = 5 x 5 k
n=(5k+1)=5(5k+2)+)
n=(5k+2)^= 5(52+4k)+4
y=(5k+3)=5(5k+6k+1)+4
h=(5k+4)=5(5k²+8k+3)+1
したがって、を5で割ったときの余りは
0.1.4のいずれかである。

ページ15:

例題1nが整数であるとき、n(n+1)(2n+1)は
6の倍数であることを証明せよ。
N=n(n+1)(2n+1)とおく。
Nが2の倍数かつ3の倍数であることを示せばよい。
[1]n.nt」は連続する2つの整数であ
り
一方は2の倍数。よって、Nも
2の倍数である。
[2] 整数を3で割ったときの余りで分類すると
3k.3k+1.3k+2
それぞれの場合について
(i) n=3kのとき
N=3k(3k+1)(6ki+1)
(kは整数)
=3xk(3k+1)(6k+1)
(ii) n=3k+1のとき
N=(3k+1)(3k+2)(6k+3)
=3x(3k+1)(3k+2)(2k+1)
(iii) n=3k+2のとき
N=(3k+2)(3k+5)(6k+5)
=3x(3k+2)(k+1)(6k+5)
(i)(ii)(iii)より、Nは3の倍数。
[1][2]より Nは6の倍数。
したがって、n(n+1)(2n+1)は6の倍数
である。

ページ16:

問4いが整数のとき、
in ( n + 1 ) ( 5 n+1) 17
6の倍数であることを証明せよ。
N=ncn+1)(n+1) とおく。
Nが2の倍数かつ3の倍数であることを示せばよい。
[1] n(n+1)は連続する2つの整数の積である
から2の倍数。よって、Nも2の倍数である。
[2] 整数を3で割ったときの余で分類すると、
(右は整数)
3k.3k+1.3k+2.
それぞれの場合について
(i) n=3ke のとき
N=3k(3k+1)(15k+1)
=
3xk(3k+1)(15k+1)
(ii) n=3k+1のとき
N=(3k+1)(3k+2)(15k+6)
=3x(3k+1)(3k+2)(5k+2)
(iii) n=3k+2のとき
N=(3k+2) (3k+3)(15k+1)
=3x(3k+2)(k+1)(15k+11)
(i)(ii)(ii) よりNは、3の倍数。
[1][2]より Nは6の倍数。
したがって、ncn+1)(5n+1)は6の倍数
である。
2
ユークリッドの互除法
◎互除法の原理
aをbで割ったときの商を余りをrとすると
キロのとき
aとbの最大公約数はbとrの
最大公約数に等しい。
r
=
0 のとき
aとbの最大公約数は、bである。

ページ17:

ユークリッドの互除法
互除法の原理をくり返し用いる割り算
この特殊な割り算を余りが0にな
るまでくり返し最大公約数を求める。
例3 ユークリッドの互除法を用いて、899 と
696の最大公約数を求めてみよう。
899=696×1+203
696=203×3+87
203=87×2+29
87=29×3
よって最大公約数は29
問5 ユークリッドの互除法を用いて、次の2つ
の数の最大公約数を求めよ。
(1) 315, 255
315=255×1+60
255=60×4+15
60=15×4
(2) 73274741
7327=4741×1+2586
4741=2586×1+2155
2586=2155×1+431
2155=431×5
よって
15
よって 431

ページ18:

3.
2元1次不定方程式
a.b.cを整数とするとき、え、yについての方程式
ax+by=c
を2元1次不定方程式、またこれを
満たす整数x、yの組を整数解という。
<整数解の求め方>
互いに素である2つの整数a.bこと
整数xyについて.
ax=byが成り立つ
とき、xはbの倍数であり、yag
倍数である。
問6 次の1次不定方程式のすべての整数解を求めよ。
(1) 7x+5y=0
7と5は互いに素なので
{ x = 5 n
y = -7n
(2)5x+6y=0.
(nは整数)
5と6は互いに素なので
20=5m
y=-6n
(nは整数)

ページ19:

<1次不定方程式の解法>
例題21次不定方程式 5x+3y=7のすべての整数解
を求めよ。
5x+3y=7
x=2.y=-
い
の整数解の1つは
なので
5.2+3⋅(-1) = ク
①-②より5(x-2)+3(y+1)=0
15(x-2)
5と3は互いに素なので
-3(y+1)
x-2=34.④すなわち x=3n+2
④を
③に代入して
2+1=-54
-5w すなわち y=-5m-
よって{ x=3n+2
y=-5n-1-(nは整数)
問71組の整数解を見つけ、次の1次不定
方程式のすべての整数解を求めよ。
(1) 5x-7y=1
③
5x-7y = 1.-0
の整数解の1つは
なので
x=3,y=2
5.3-7.2 =
①-②より5(x-3)-7(y-2)=0
〃 5(x-3)=7(y-2)
5と7は互いに素なので
ILL
x=3=7n..④すなわちx=7n+3
④を③に代入して
y-2=5m
x=74+3
よって、
{
y=5u+2
すなわち y=5n+2
(nは整数)

ページ20:

(2) 3x+5y=45
3x+5y=45..
①
の整数解の1つは
x=10,y=3
なので
3:10+5.3=
45
②
①-②より3(x-10)+5(y-3)=0.
…3(x-10)=-5(y-3)…③
3と5は互いに素なので
x-10=5…④すなわちx=5n+10
④を③に代入して
y-3=-3m
よってSx=5n+10
y=-3n+3
すなわち y=-3n+3
(nは整数)
<1次不定方程式とユークリッドの互除法>
例題31次不定方程式163x+78y=1の1組の
整数解を求めよ。
ユークリッドの互除法により、
163=78×2+7より163-78.2=7 ①
78=7×11+1より78-7・11=
7 = 1×7
①を②に代入して
78-1163-78.2) 11=1
78.1-163.11+78.22=1
163.(-11)+78.23=1
x=-11
よって、
y
=
23

ページ21:

Date
問81次不定方程式223x+105y=1の1組の
整数解を求めよ。
ユークリッドの互除法により
223=1052+13より223-105・2=13... ①
105=13.8+1
13=1.13
①を②に代入して
より105-13.8=1
105-(223-105.27.8=1
105.1-223.8+105.16=
223.(-8)+105.17=1.
よって、
fxc
-8
y=17

ページ22:

5.
3節 整数の性質の活用
1.記数法
10進法 0から9までの数字を用いる。
右から順に1.10.10
問1 10進法で表された数6578
の位で表す。
6578=6×103+5×10°+7×10+8×1
2進法または1の2個の数字を用いる。
右から12.22,…の位で表す。
<2進法と10進法>
11001(2)
m
2進法
25
より
例12進法で表された数11001(2)は
1×24+1×23+0x22+0×2+.1
10進法で表すと25となる。
問2. 次の2進法の数を10進法で表せ。
(1) 10/12)
1×2²+0×2+1
(2)1010 (2)
=
5
1×23+0×22+1×2+0=10
(3) 11111 (2)
1x24+1×2+1×2+1×2+1=31
例2 10進法で表された数22を2進法で表す。
2122 余
2/11 0
215
0
よって10110 (2)

ページ23:

問3. 次の10進法の数を2進法で表せ。
(1) 1.8
2118
219
0
214
2
2
0
10010 (2)
(2) 32.
2132
2116.
0
218
21
2
2
4
.13) (25
21125
1
100000 (2)
2162
231
2
15
2
21
1111101 (2)
例32進法で表された小数1,101(2)を10進法で表そう。
1.10(2)
x/+0x
13
8
=1.625
問4 次の2進法の小数を10進法で表せ。
(1) 1.11 (2)
1+1/+1×1/2
1,75
4
(2) (1.01 (2)
1×2+1+0x/+1×1/2=1/2
13
3.25
4

ページ24:

(3) 0.1101 (2)
1 x 3 1/1 + 1 x 1/1/1
※
+1×17=12=0.8125
16
<2進法の計算>
例4 2進法で表された数の足し算、引
(1) 111+101=1100
引き算
()).
い
土 101
110'0
(2) 1001-110=11
0
110
☐
問5 次の2進法の数の計算をせよ。
(1) 11011+1110=10100
(101)
+
1110
101001
(2) 10100-1101=111
2
110
|||
例5.2進法で表された数の掛け算
101×101=11001
101
✗
101
101
101
11001

ページ25:

問6次の2進法の数の掛け算をせよ。
(1) 110×11=10010
1.10.
×
い
110
110
10'010
(2)1101×101=1000001
1101
101
1101
1101
「
1000001
<n進法>
例6 (1) 3進法の数121213)を10進法で表すと
1212 (3)=1x33+2×32+1×3+2=50
(2) 10進法の数73を3進法で表すと
3173
3124.1
318
0
2
2
73=
2201 (3)
問7次の3進法の数を10進法で表し、10進法の
数を3進法で表せ。
(1) (2021 (3)
12021(3)=1x24+2×23+0×2+2×2+1=142
(2) 172
31172
3157.1
3119
3
6
0
2
0
172=20101(3)

ページ26:

例題1431(5)を3進法で表せ。
431(5)=4×52+3×5+1
3/116.
3
38
2
3112.2
314.0
116
1-1
116=11022(3)
よって431(5)=11022 (3)
問8 次の数を3進法で表せ。
(1) (1101 (2)
11101=1x24+1×2+1×2°+0×2+1=29
3129
3
9
2
313
0
29
=
1002 (3)
よって11101
よって (1101 (2)=1002 (3)
(2) 2014 (5)
2014(5)=2×53+0x52+1×5+4
31259
259
3186
3
28
2
319
3
3
し
1--
よって
1
0
259
〃
100121 (3)
2014(5)=100121 (3)

ページ27:

2
小数と分数
有限小数
(ex) //= 0.125
循環小数 lex) //=0.3181818
22
=
0.318
<有限小数となる分数>
例7
それ以上約分できない分数:既約分数
◎既約分数が有限小数となる条件
-(1)
分母の素因数が2と5だけの既約分数
<=>有限小数
40
は分母が40=23.5なので有限小数。
(2)1=1/5は分母が15=3.5なので
90
有限小数でない。
問9
有限小数となるものを選べ。
3
20
3
5
9
105
128
240
①). ②

ページ28:

Date
<循環小数となる分数>
循環小数において、
→
くり返し現れる数字の配列 循環節
例8
8
(1)
33
は分母が33-311なので循環小数。
8
33
0.24より循環節は24
(2)骨は分母が14:27なので循環小数。
=0.1242857より、循環節は142857。
14
問10 循環小数となるものを選び、循環節を
答えよ。
の号
18.
30
2
45
72
① 428571
6