ページ3:

a=ve-vi.vtitat)-vet)
(1.10)
tz-ti
Ot
時刻切における加速度と、加速度の関数は速度のときと同様に微小時間
つまりAt→Oの極限を考えればよい。
a(t₁) = bin Ultitat) -U(G) –
dulti)
-(1.11).
Atto
At
dt
alt) = his vittat)-V(t) dule)
(1,12).
Atto
St
dt
さらに、ひが丸をとで微分したものであることに気をつければ、
a(t)=
Lu(t) = d²x(t)
dt
-
dt2
-(1,13)
と書ける。ここで、積分は微分の逆演算であることから、位置、速度
加速度の関係をまとめてみよう。
微分
微分
位置
速度」
加速度の
積分
積分
なお、物理学においては、「時間」で微分することが非常に多いので、
時間微分のときは慣的に特別な記号「ドット」を用いる。すなわち、
dt.
a=
dt
=====
00
のように表す。以降、適宜これらの記号を併用していく。
1-4. 3次元上での点の運動
点Pが3次元空間を運動することを考えよう。運動とは、物体がその
位置を変えることであるため、物体の位置を数学的に記述する必要が
ある。ここで、原点を始点とし、原点からの距離と向きを与えるベクトルを考える。
4

ページ4:

No.
Date
&
そのようなベクトルを位置ベクトルと呼ぶ。
すなわち、物体の位置の座標を成分として
並べたものを言う。位置ベクトルは他で表し、
=(x,y,z)-(1,14)
H
となる。物体の位置は当然時間によって変化するので
は時間とを変数に持つベクトル関数である。
さて、3次元中を運動する点Pの速度は位置ベクトルの各成分の時間に対
する変化量を調べればよい。つまり各成分を時間微分すればよく、これは、
すなわちベクトル関数を時間微分することになる。よって、
D = (Vx, Vy, Vz) = (x, y, z) = 8 - (1,15)
と表される。同様に、加速度も速度の時間に対する変化量なので、速度
を時間微分すればよく、
α = (ax, ay, a₂ ) = ( iUx, Uy, U₂ ) = V - (1.16)
a=(ax,ay,ax)=(ix, vy,ジュ)=v -
と書ける。式(1.16)は、弍(1,15)を用いれば次のように書ける。
a = 1 = 1 − ( 1, 17)
1次元でも、3次元でも(恐らく多次元においても)、位置、速度、加速度
の関係は同様である。
5

ページ5:

No.
Date
2 運動の3法則と、運動方程式
2-1 運動の3法則
1687年、ニュートンは物体の運動について数学的な議論をする
ことで、運動の法則を統一的にまとめ、著書「プリンキピア」にて発表し
た。それによれば、物体の運動は以下の3つの法則に従うという。
○1. 慣性の法則
-
物体に力が加わっていないとき、物体は等速直線運動.
物体はV=①の等速直線運動と見なす。
~
(すなわち、n=conatの運動をする。なお、静止している
○2.運動方程式 物体に力が加わるとその力の向きに運動量が
変化し、運動量の時間に対する変加量は、加えられた。
力に等しい。すなわち
de = F -(2,1)
at
03.作用反作用の法則-2つの物体の間に、相互に作用する力があるとき、
2-2 運動量と質量
これらの力は逆向きで大きさが等しく、同一線上にある。
例えば、物体AがBに及ぼすかをFA、BがAに及ぼすか
をBとし、これらが相互作用の力であるとすると
FFA = -FB - (2,2)
第2法則に出てきた運動量を紹介する。運動量はわかりやすく言えば、運動。
の激しさを表す量であり、以下の式で定義される。
t=mv-(2,3)
式(2,3)を見て明らかなように、運動量はベクトルであり速度とは比例の関係
にある。この定義に現れる比例定数を質量という。例えば、ボールを
6

ページ6:

No.
Dato
投げて同じ速度を与えるとき、重いボールの方が投げるのが大変である。
ことは、経験的に明らかだろう。また、ボールを受けとめるときも同様に、重
いボールを受けとめるときの方がその衝激は大きい。質量とは物体の
速度の変化のしにくさである。(もっと噛み砕けば、動かしにくさ」と考えるのもよい)
2-3. 運動方程式
運動量を実際に時間微分しよう。積の微分を用いて、次のようになる。
dp.
=
=
di
dt
-v + mat
-(2,4)
この式を見ると、質量が時間変化する、一般的には考えにくい状況までもを
議論したニュートンの達人さがよくわかる。(この議論は相対論を考える
上で重要になる)普通、力学においてはm=constの状況を考えるので、
式(2,4)の右辺の第1項は0となる。よって
dyp
dv
= M
= ma = F. - (2,5).
dt.
d=ma
となる。この式は、「質量の物体に力が加わると、加速度aが発生
する」という現象を主張しており、これから散々議論することになる運動
方程式が得られる。逆に考えれば、力とは物体を変形させたり、運動の状
態を変化させるものだと言える。普通、運動方程式は式(1.17)より、
ma=m* = F
(2,6)
のように、ベクトルの二階微分方程式の形で記述される。
なお、これ以降は「運動方程式」と書くのは面倒なので、英訳 equation of motion
の略であるEOMと書く。
2-4. 物体と質点
力学において、物体の逆進運動を議論するとき、その物体は質量のみに注目すれ
ば、形状や大きさは無視しても、十分な精度で考えられることがわかっている。
ここで現れる、質量を持つが大きさを持たない理想的な点を質点という。
7

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No.
Date
2-5 一様な重力のもとでの運動
実際にEOMを解き、物体の位置を考えてみよう。
図のように、一様に動力のかかる空間で、
位置(0,y,zo)から初速度心で
y
6日(0,0,m) 質量かの質点を、軸から日の角度に
投げ上げる。
Zo
yo
九
○重力加速度
地球上の地表付近では、物体はおよそ
9.8m/s2の加速度で鉛直下向きに落下する。
この加速度を動力加速度という。
物体の運動を議論するには、まず各成分ごとにEDMを立て、その
微分方程式を解いたのちに、初期条件(以下initial condition より
IC」と略記)から積分定数を決定する。
@tep1. 物体にかかる力を確かめ、EOMを立てる...
質点には動力(F=(0,0,-mg))のみがかかるので、
各成分のEOMは
mx=0
mi=0
m'z=-mg-(2,7)
atop2 得られた微分方程式の一般解を求める。
x = C₁
式(2,7)の両辺をmであり、七で積分すると
y=Cz
=-gt+C3-(2.8)
式(2.8)をもう一度比で積分すると
x=Cit+Cl y=Czt+C=
= = - 1 91² + C3+ + C' } - (2,9)
ただし、Cinz, Ciusはすべて積分定数である。
8

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No.
Date
も
Zo
step3
I.C.から、積分定数を決め、特殊解を求める。
題意によれば、ヒ=0のときの位置は、H(0)=(0,yo,20)、速度は
nt(0)=(0, vocorf, voad)である。これをICとして用いると
if(0)=(C,,Czi-go+C3)=(0,Vocore,Voal)
|| (0) = (C₁0 + Cí, C₂0 +C½‚¯ ½≤9·0²+ C³•0+C}) = (0, 10, 20)
となり、以下のことがわかる。
C=0C1=0C2=Vocer Cl=yo C3=Voall, C''=zo
まって、質点の位置は、以下のようになる。.
サ(t)=(0,Votcorθto/2gt+votalAtzo)-(2,10)
2-6 空気抵抗のかかる質点の運動
○空気抵抗
空気抵抗には2種類あり、速さに比例する粘性抵抗と速さの2乗
に比例する。 慣性抵抗がある。力学においては、粘性抵抗の方がよく出る。
簡単のため、を軸方向のみに運動するものとする。
図のように、位置Zから初速度Vで鉛直下向きに
質点を投げ下ろす。質点には、重力mgと、空気抵抗ール
↑ーがかかる。
vmg
step1z=vと表せることに注意してEOMを立てると
mz=-mg-μ2 or mi -- mg -MV - (2,11)
atop2式(2,1)の右の式を、両辺を爪であり1m=とおくと、
dv
du =-9-10 - (2,12)
dt
ニー
9

ページ9:

No.
Date
①変数分離で解く方法、
式(2,12)を変形し、
dv
=
gtro dt
(2/13)
両辺を上で積分すると
dv
Jatto fade f-de=
Itzv Lt dt = √ - dt = -t+C — (2,14)
式(2,14)の左辺は置換積分をすると
dvd de = 1/ dvd = f log|= -2+ul-(2,15).
Satru de
以上を指数関数の形に直し、
c'ère =*+v.-(2.16) (C'= etc)
よって、ひの一般解が求まる。
g
v=i=Ce-re
V = 2 = C'e-7² - 2 - (2,177
②線形微分方程式として解く方法
式(2,12)の一γを移項し、
dv
dt +ru = -9 - (2,18)
式(218)の左辺を次のように変形させる。
rt
id
積の微分、
dv
gt
dt
dt
-tru = e^ (reπ utere di ) -ert dert u (2.19)
10

ページ10:

No.
Date
h
Ble) (c) re-re²) - It + ].
li z(t) =
800
800
-
-vot
= ln { - Vot — — — t² ('9- vor ) + 20 } = — — —g t² - Vot + 20 - (2,25).
800
と、空気抵抗のない場での投げ下ろしの式を得られる。
また、十分に時間がたったとき(つまり土の極限)の速度を考えよう。
実際に速度の式で七をとると
g
g
I ε (t) = l^^ { \ - vo) e = r² = 1} = 1 - (2,26)
t-oco
このように、初速度によらない値が現れる。空気抵抗のかかる空間で、
物体を落としてから十分に時間がたったときに現れる速度を終端速度という。
空気抵抗がかかるとき、質点のひーとグラフは
左のようになり、終端速度はICによらない。
という結論を得ることになる。逆に言えば、
終端速度から初速度を考えることは非常
に困難であると言える。
Vo
Vo
12

ページ11:

No.
Date
両辺をere倍した後に、土で積分すると、
erty = fertght = ffer+C-(2,20)
=
両辺をert倍して
v=z=Ce
-re.
-
g
ま
-(2,21)(2,17と同値)
以上、速度方が求まったのでさらに積分してもを求めよう。
g
C-rt g
(2,22)
3 = 1 #d= [(ce" - fldt - - fer- ft + C" - (xx)
step3. 題意によれば、I.CoはZ(0)=Z020)=Vである。
これを、式(2,17) 式 (2,22)に用いると、
=ce
g
i (o) = Ce° - == -v
=
1 f
C = -10
³ (0) - - |(7-16) e² - 7·0+C³½³ 20 "C" - 1 - 1 + 20
よって、質点の位置は以下のようになる
g
g
2(t) = ( 1 / 1 - 1/6 ) ( 1 − e ²² ) - 1 t +20 - (2,23)
-
Zo
ここで、空気抵抗が十分に小さいとき、(つまり→0の極限を考えると、
eの指数関数は、テイラー展開を用いて
Ert
froen - 11-rettres -(2,24)
8-00
800
と近似できることを利用して、

ページ12:

No.
Date
3. 慣性力と極座標
3-1 動く座標系の導入
今までは、座標系と言えば、暗に完全に固定されているものとして
扱ってきたが、時によっては座標系そのものが動くと考えた方がよい場合
もある。また、実際に動く座標系を議論することによって、慣性の法則に
ていてもう一度考察してみよう。
3-2. 等速で並進運動する座標
図のように、静止している座標と、
速度(=cout)で運動する座標を
考える。Sから見た質点の位置を出...
Sの原点の位置をとしSから見た
質点の位置を転とする。位置ベクトルの
それぞれの関係は
1 = 1, +12
-(3,1).
両辺を時間微分すると、赤はS'Sに対する速度であるので、
* = 1 + 2 = V + 2 - (3,2)
g=nitiz=Vt2
さらに両辺を時間微分すると、V=Cenatなので、
=①titz=112 -(3,3)
-
このことをふまえて、質点に力がかかっているとすると、SS'での各々のEDMは
mt = F.
mit = F. — (3,4).
と、どちらも同じ形となり、F=①のとき、質点の加速度はいずれも。
①となり慣性の法則が成立する。このように、慣性の法則が成立す
る系を慣性系という。逆に言えば、この法則は、慣性系の存在を主張する

ページ13:

Lato
もの、ともとれる。
3-3. 加速度をもって並進運動する座標
こんどは、Sが加速度をもつ場合を
考えよう。(つまり、赤キcent)
-112.
この場合において、前、嘘の関係は、
=1₁₂- (3.5).
両辺を時間微分して..
=-(3.6).
さらに両辺を時間微分すると、飛はSのSに対する加速度なので、
"
* = * + * = a+h - (37)
ここで、質点に力がかかることを考えよう。 SでのEOMは、
mj = F
-(3,8)
となる。式 (3.7)(3.8)から、SでのEOMは
= F-nt =F-ma-(3.9).
となる。このことから加速度を持つ糸で物体の運動を観測すると、
物体には、本来それにかかる合うとは別に、糸の運動に応じた別のかが
働いているように見える。この見かけの力を慣性力という。
3-4 成分表示と基本ベクトル表示
次のステップに進む前に、新しいベクトルの表し方について確認しよ
店今まで、ベクトルは成分を一列に並べた表し方を使ってきた。
A=(Ax,Ay,Az)(3,10)
14

ページ14:

No.
Date
このようなベクトルの表し方を成分表示という。
○基本ベクトル
x
各座標軸と同じ向きを持つ、大きさが1のベクトルを基本ベクトルという。
@x=(1,0,0) @y=(0,1,0) dε = (0,0,1)-(3,11)
g
p = xex + yay + Zez
→y.
3-5.回転する座標
j'
→Bx
成分表示に対し、ベクトルを基本ベクトルのスカラー
倍の和として表す方法を基本ベクトル表示という。
A= Axext Ayet Aztz-(3,12).
基本ベクトルは、、、せるとも書く。
→も
図のように固定された座標と、左軸まわり
で回転する座標を考える。S系の基本
ベクトルを見れませて、系の基本べ
クトルを私、、とし、Sに対するS
の回転角を日、その時間微分をも=wと
(軸原点は一致しているものとする)すると、基本ベクトルの関係は
fx=corex taileyfy=-andex+corAzy f2=Bz-(3,12)
これらを時間微分すると、S系の基本ベクトルは定ベクトルなので、
fx = -wain Dex twcorder = why
₤₂ = Bex-war-Dey=-whx.
fy=-wo
=-was Dex-wan Dey=-wfx-
1
-(3.13).
h=0
z
式(3.13)を用いて、さらにこれらを時間微分すると
"
x=why-wifey = -wfx-wy ff x = 0 — (3,14)
このことを考慮し、S系での位置ベクトルを時間微分しよう。
15

ページ15:

No.
Date
W = (0,0,w)
となる。また、より一般的に角速度を
(3,21)
W = (Wx, Wy, Wz) — (3,22)
とおくことで、座標の回転について、議論を拡張することができる。
3-7 コリオリカと遠心力の一般化
静止した糸に対し、解速度=(x,y,z)で回転する紅を
考える。工系での基本ベクトルをgxx,y,zとすると、2系での位置
ベクトルは、
R = X v x + Y q r t Zgz -(3,23).
式(3,20)を拡張させて考えれば、
9x=Wx9x $x = wx I x 3 x WXJx - (3,24)
となる。このことをふまえて、式(3,23)を時間微分すると
R = X 9 x + X (W x D x ) + Ý ¶ x + Y (W x D x ) + Ź qz + Z { WXBz) — (3,25)
さらに、時間微分をすると
Ř =
X9x+2X(wx9x)+X(ax(wx8x)) + ( D x + 2 (W x D x ).
+ Y ( W x (W x D x ) ) + Ź J z + Z Ž (W x D 2 ) + Z (W X (W x D 2 ) ) )
1-(3.26).
ここで、V=(x2)、A=(学)とし弍(323)を考慮して
"
ŔŔ = A + 2 w x V + w x ( wXR)-(3,27)
となる。ここまでのことを考慮し、位置にある質量の質点に力がかか
っているときのEDMを書くと、
17

ページ16:

No.
Date
mA=F-2mwxV-max(wxR)-(3,28)
となる。ここで、右辺の第2項がコリオリカ、第3項が遠心力である。
式(3,28)において、Aは糸での見かけの加速度は2系での見かけ
の速度である。
3-8 極座標
これまで、物体の位置は各成分の座標を決めることによって表していた。すなわち
ar.
TO.
二次元座標
83
H. = xext Jeg + ze z = (x,1,2) - (3,29).
・er
x
円筒座標
er
・中
0.2
y.
ル
三次元極座標
このように、 それぞれの座標軸にそった単位ベクトル
を考える座標を直交座標、デカルト座標という。
これに対し、原点からの距離と、基準線からの
で位置を指定する座標を極座標という。基本ベクト
ルは、図のようにとり、それぞれ二次元極座標、円筒座標
三次元座標を得る。位置ベクトルは、二次元座
標、三次元極座標は
rr=rer -(3,30)
となり、円筒座標では
n=rertzez-(3,31)
となる。ここで、これらの座標は基本ベクトルが
時間変化する前提で考えられていることに
十分に注意しよう。
これらの座標は、デカルト座標と互換性が
あり、自由に置き換えることが可能である。
○二次元座標の変換
(x,y)=(rcoal, raiθ) (3,32)
○円筒座標の変換
18

ページ17:

(x,y,z)=(rcord,rabiz)
-(3,33)
No.
Date
○3次元極座標の変換
(x, y, z) = (r cos & s² 0, rain & sid, roost) -(3,34)

ページ18:

Sでの位置ベクトルを基本ベクトル表示で書くと、
W = x A x + Y' A y + z' fe - (3,15)
t
式(3.12)を用いて両辺を時間微分すると、
'j' = ( x − y'w) fx + ( 'Ì' + x'w) fly † z'ftz — (3,16)
簡単のため、回転速度は一定である(w=cont)として、さらに時間微分すると
it' ≤ ( ž' ' − 2 y 'w − x'ï³²) ffx + (Ÿ' + 2 xw-уw³) ƒ y + z' ftz (3.17)
ここで位置みにある質量の質点にカ=(Fx,Fy,Fi)がかかっている
とすると、EOMは、式(3,17)より
[mi=Fxt2mijw+mxw2
miy'=Fy-2mi'wtmy's
m
=Fz
-(3,18)
となる。ここでの第2項をコリオリカ、第3項を遠心力という。
それぞれ服とかくと
=(22000) F2=(mi'id', my'',0) -(319)
3-6 角速度ベクトル
式(3.13) をよく見てみると、以下のように書けることがわかる。
Ax=wfy = wfxx fx – Ay = - wfx=wffexfly f₂ = 0 = coflex fix -(3.20).
ここで=θとおいたことから、のは時間に対する回転の変化量である。この
量を角速度という。W>0とすると、3-5で考えた系はを軸の方に向かって右回
りで回転していることになる。 で角速度ベクトルを大きさがんで、回転方向
に右ねじを回したときのねじが進む向きを持つベクトルと考える。すなわち、
の系において角速度ベクトルは

ページ19:

4. 1次元上での振動運動
4-1. フックの法則
バネにつながれた質点を自然長から伸ばす、あるいは縮めると、質点の
自然長からの変化とは逆の方向に、その変位に比例した大きさの力が働
<。このバネの変位と力の大きさの関係は以下の式で表される。
F = -kx
-(4,1)
ここに現れる比例定数水をバネ定数といい、それぞれのバネが持つ固有
の値である。式(41)が示す法則をフックの法則という。また、特にフックの
法則に従う、もとに戻そうとしてかかる力を弾性力という。
4-2 単振動
q xxx
図のように、バネ定数㎞のバネに質量れの
MAO
クの法則に従う弾性力を受けて運動する。
WOF=cho. 質点をとりつけ、その運動を考える。自然長を
原点とし、質点の位置をxとすると質点はフッ
この運動はx軸方向のみで起こる(つまり1次元)とすると、EOMは
m" ==kx.
m = -x -(9,2)
となる。西を肌でわり新たな定数をおくと
+x=0(W)-(2,3)
となる。ここで、この方程式を満たす解を
x=ext
と仮定すると、式で9.3)は
-(4.4)

ページ20:

A²ent tw²ent = 0
と書きかえられる。これを未知数入について解くと
(4.5)
λ = ±iw
-(4.6)
を得るので、式(4.7)の一般解は、任意定数CCを用いて。
x=Creiwt + Cre-inst (4.7)
となる。ここで、オイラーの公式
eio = contis - (4.8)
より、式(47)は三角関数の形に書きかわる。新たな定数をA、Bとすると
x=Acoratt Baiwt-(4.9)
を得る。よって、この運動は周期性を持つことがわかる。このように式(93)
のような微分方程式を与え、式(4.9)のように三角関数の解を持つような
運動を、単振動という。この運動の周期を丁とすると
()=x(t+)
を満たす必要があるので、次のようになる。
(4,10)
F = 24 = 2√ 4 (4,11)
M
4-3 減衰振動
4-2で考えた振動する糸に、速度に比例する抵抗力がかかることを考
えよう。抵抗力がかかると当然質点の振幅は小さくなっていく。このよ
うな運動を減衰振動といい、FOMは
mx = -kx-pix - (4,12)
21

ページ21:

となる。両辺をであり定数wsをおくと
d²x
dte
de
£ ² + 284 + w x = 0 15 - 1 wa
M
W=
(413)
zm
となる。ここで、式(4,4)のように解を仮定すると、式(4,13)は、
R²ert +25 deat + w²ent = 0
と書きかえられる。これを未知数入について解くと
-(4,14).
λ=-8±√5²-w² - (4,15)
を得る。ここで出といの大小関係を考えてみよう。
>wのとき
未知数入は式(4,15)と同じになり、式(4,13)の一般解は
x=Ciestat
-(4.16)
となる。このとき、質点は過減衰という運動
をし運動のようすは左のようになる。
y=Wのとき
未知数入は重解をもち
2=-5
となる。このとき、弐(4,13)の一般解は
-(4.17).
x = e^ 1st (Cit + C₂) -14.18)
となる。このとき、質点は臨界減衰という運動
をし、運動のようすは左のようになる。臨界衷
は最も短い時間で質点が完全に静止する。
22

ページ22:

- j² (a corɣt + bangt) tw" (a conft + brig₁) -α cogt - (4,25)
と書きかえられる。ここで、未知数a,bについて解くと
a
a=
W²-82
b=0
-(4,26)
を得る。また、式(4,3)の解は式(9,9)のようになることから、式(9,23)
の一般解は
x = A coret + Bx wt + we p² cosy t
W²-g2 cofft - (9,27)
となる。ここで、IC.x(0)=0i(0)=0が与えられたとすると、任意定数
A,Bは、以下の等式を満たす。
a
At
=0
.w²-gz
Bw=0
(4,28)
よって、A,Bは
d
A = -
B=0
(4,29)
02-72
となり、ICを満たす特殊解は
a
x=
(corpt-cozwt)-(4,30)
となる。ここで、8wの極限を考えてみよう。式(4,30)は次のようになる。
・a
from α = live (y+h) (y-w) (conge-conwt)
x
gw
(r+w)(y-w)
a
=== sw
800-00 20+gw
coilwtdult-cosit.
SW
24
(=w+80)

ページ23:

d
x
Coscut
1
804
2w da
zw
at sin wt -(4,31)
よって、g=wのとき、式(4,23)の特殊解は
x=AconwttBawtt
xt
siwt (4,32).
2w
4-5 単振り子
となる。=Wのとき、この運動は共振
→もといい、運動のようすはなの縁の線のよう
になる。
.y
日
図のように長さが1で伸び縮みしない糸に質量
mの質点をとりつけ、原点に固定する。質点の運
動を、2次元極座標を用いて議論しよう。
質点の位置はerを用いて
x=ler
(433)
er
mg
と書ける。ここで、er1日をデカルト座標で表すと
er=(cor日,日)
cp = (-sino, cord) -(4.34)
となる。日が時間によって変化することに注意して、erを時間微分すると
&r= (-ban, O cost) = deo do = (-8cord, -do-9)=-Der -(9,35)
このことと、人が定数であることに注意して質点の速度、加速度を求めよう。
* = le+ = loco - (9.36).
¥ = ƒ U à ® ] = l ë € o + l ò è ò = lö €¢-l𳪤r − (9,371).
25
brow tousa LEAR

ページ24:

また、動力のベクトルは
mgex=mgcooθer-mgaiDeo
-
(4,38)
と分解できる。よって、erの方向と、4日の方向でEOMをたてると
ar: mlb² = mg cost-I
-
(4,39)
tomle
(4,40)
ここで、振れ幅目が十分に小さいとき、サインはテーラー展開を用いて
0-00
l'in sun = 0
-
000
(4,41)
と近似できることを利用し、式(4,40)は
++20-0
g
(4,42)
とかける。この式は、単振動の議論で現れた式(9,3)とソックリであること、
に気づければ、日は直ちに求まる。すなわち、一般解は
9 = A Herbs Bt - (9.43)
A
である。また同期は
6lt)=日(t+P) (4,44)
を満たすので次のようになる。
T=20
2x √ (4,45)
式(4,45)を見ると、振れ幅が十分小さいとき、周期は糸の長さのみで決まり、
振れ幅にはよらないことがわかる。このことを振り子の等時性という。
26

ページ25:

4-6 振り子の等時制の破れ・
4-5では、日が十分に小さく、式(9,41)のような近似が使える場合につい
て考えた。ここでは、日がある程度の大きさを持ち、近似ができない場合いつい
て考えてみよう。式(4,40)の両辺をであり、色をかけると
lö ö = -90 and -(4,46)
となる。 両辺は、合成関数の微分を用いて次のように変形できる。
d
dt
dt
(107(90010) - 14.97)
両辺を積分し、
2
+ lo² = geord + C.
(4,48)
これを日について解くと
1
2
A = = = = = cond+A (A = 20) - (4,49)
式(4.49)を変形し、
de
√√22 con + 1 = ±1. (4,50)
A dt
式(4,50)の両辺を0から1/4(周期の1/4)まで、積分しよう。時刻において
振れ幅は最大値 Amaxをとるとすると時刻Tでは振れ幅は0にな
る。すなわち、ふくいとなるので、式(4,50)を積分すると
- So Je Z-cond + A Li dt = So" de
STAND
4 Le
で
do- & -(4,51)
algar
27
4

ページ26:

式(4,5))を見ると振り子の周期は振れ幅Braxxにも依存すること
がわかる。式(9,51)は、楕円積分とよばれ、実際に計算することは非常に難
しい。振り子の等時性は、Omaxが十分に小さいときのみに現れる、近似的
な法則であるということには注意を払いたい。
28

ページ27:

□くんのとき
未知数入は複素数となり、
入ニー(4.19)
となる。このとき、式(4,13)の一般解は
x = C₁e + s + i/w² - 4 + Cze²
(-4-i√/w²-8²)t
-14:20]
となる。ここで、オイラーの公式(弐(4.8))より、式(4.20)は
x = e^se { Acor√ w²- G² + + Bain Jw-st} - (4,21).
x=e-st
st.
と変形される。このとき、質点は減衰振動という
運動をし運動のようすは左の緑の線のように
なる。
4-4.強制振動
4-2で考えた糸に、周期的に大きさの変わる外力がかかることを考えよう。
このように、外力の影響を受けて提動する運動を強制振動といい、EOMは
m'k=kx+fcome -(9.22)
となる。 両辺をであり定数w.αをおくと
d3x
dt
となる。ここで、この微分方程式の特殊解を
I t + w³x = a corse (w=ft, a- £)-(4,23)
m
x=acoartt bart
-(4,29)
と仮定すると式(4,23)は
23

ページ28:

6.運動量と角運動量
6-1. 運動量と力積
運動量は、運動の激しさを示す量であり、2-2で少し紹介している。ここで
は運動量と力の関係についてもう少しほり下げてみよう。式により
dr =
F
-(6,1)
両辺を時刻たからで積分し、次のようになる。
(P(t2) - 4P(t) = √ F dt - (6.2)
式(6,2)の合辺は力績といい運動量の変化量と等しい。
6-2 運動量保存則
ma. F
0
図のように、質量mamlの2つの質点が相互作用による
力のみを受けて運動している。作用反作用の法則より、
2つの力は互いに逆ベクトルである。質点の位置をそれぞれ
rainbとすると、質点のそれぞれのEOMは
Marta = F_ __more = -F. -16,3)
となる。式(6.3)の辺々をたし合わせると
matka tmere = 0
-(6,4)
両辺を時間積分すると
maratmode=c-(6,5)
このように右辺に定ベクトルが現われる。
39

ページ29:

このことから、2物体間で相互作用のみが働くとき、2物体の運動量は保存
されることがわかる。この議論を、多数の質点の場合に拡張しよう。この
賂点の質量をある、位置を、番目の質点から受ける力をほとすると、そのOMは
N
Mitt i
=
-
Σ Fij (i=jore Fy=0)-(6,6)
N この質点について、式(6.6)の和をとると、
Emi
Fig - (6,7)
となる。式(6,7)の右辺は、作用反作用の法則から①となる。式(67)の両辺を
時間で積分すると.
N
2m = -16.8)
C
となり、任意の数の物体について運動量保存則が示される。
6-3 角運動量と力のモーメント
位置に運動量を持つ物体があるとき、物体の角運動量を次のように定義する。
L = xxx = xxmx - (6,9)
角運動量は物体の回転運動を特徴づける量である。もしみ!!のとき
外積の性質から何運動量はのとなり、物体に回転は見られない。ここで、む
(6)を時間微分するど
rxF
[= txitxxm* = *&F - (6,10)
ここで力のモーメントを次のように定義する。
N = rx F = x^m* -(6.11)
40

ページ30:

以上から、物体の回転のEOMを得る。
du
dt
14 =IN
=IN - (6,12).
6-4 中心力と運動量保存則
物体にかかる力のうち、位置ベクトルと平行であるものを特に中心力という。
F中心=for-(6,13)
中心力は保存力であるという特徴を持つ。そのことを、式(5,40)の経路で周回
積分をして確かめよう。
ffroader = Jeanforder.these findt+ farfido. 16.14)
以下、式(5,41) (542) (5,43)と同様に計算する
y2
dr
Sen frds - Life - Jody = ["fydy ={fig=3/1
food | foff dy = (43
1
=
=1/2(+2)
1 § ƒ # # = — F { <q ² = ²) + (+ ? —z ? ) + ( y −y ² ) + ( ² ² (y² — y ? } } }
22-81
2
+1
1-0
よって、中心力は保存力であることがわかった。最後の行では、
==
y2-yo
yi
82-81
¥2
41
-(6.15)

ページ31:

7. 惑星の運動
7-1. 万有引力
ニュートンの功績に、2-1で紹介した運動の法則の発見の他、万有引力の発
見というものがある。万有引力は質量を持つ2物体が、その質量と、2物体の距離
の逆二乗に比例する力であり、次のように書かれる。
22
F= 6 12 -(7.1).
ここに現れる比例定数Gは万有引力定数という。質点がりの位置を、mの位置
をっとすると、mmがそれぞれ受ける力は、
FF₁ = G
mim
=
とベクトル表記が可能になる。式(7.2)から。
F₁ = -F₂-(7.3).
と作用反作用の法則が成立していることがわかる。
以下では簡単のため、質点Mが原点に固定されており、門の影響で運動する質点
mを考える。の位置を止とするとEOMは
Mm
m = - 6 MM r — (7.4)
である。両辺をエネルギー積分して、
Smæ à¯dt
-√6 M² radt - 17.5)
Mm
r
左辺は5で散々やった通りである。右辺については、
43

ページ32:

と置換すると、
du - - dr
-(7,29).
であるから、式(7.27)は、
du
L²
1 = 12 +257 + x-x
2GM
12mE
-u-u²
+ (b™Mp²² - ( u - GM m² ² - (7.30)
に
12
と書き換わる。右辺は、これから行う道換がラクになる一工夫である。ここからさらに
GMm²
u =
12
"2m² + (GMon² cost. - 17.31):
と置換する。そうすると、
du=
ZmE
に
- √2 m² + ( Maj sin Odo - 17,32)
Ad
となり、式(7,30)は
=1-(733)
de
となる。両辺を中で積分すれば、
0=4.-(7.34)
となり、式(73)の日を中に置きかえればよいことがわかる。よっては
1
1
+=
U
GME
f
L
L²
と書ける。ここで、定数のかたまりを、
"+16M 2 cost GMm² 11/17
=
2 EL
-(7.35)
G²M²13
cost.
48

ページ33:

R =
L²
2EL2
GMm²
E-/1+
I
-(736)
G²M² m²³
と置けば、
R
r =
-17:37)
1+εcost
と、極座標における二次曲線の関数を得る。ここで現れるとは離心率
という、二次曲線の形を決定する定数であると=0のとき二次曲線は円となり、
OKE<1のときは楕円=1のときは放物線>1のときは双曲線となること
が知られている。ケプラーの法則によれば、惑星の軌道は楕円となる。このことから、
惑星の持つ力学的エネルギーについて議論ができる。式17.36)から、
2 EL
G²M²m³
01+cm<1.-(7.38)
くに
を満たす正について考える。式(738)を整理すると、
G²M²m³
242
<ECO
-(7.39).
を満たせばよいことがわかる。ここで、有動ポテンシャルを次のように置く。
L3
Mm
Ve==
・G
-(7.40)
2mr2
r
Ve の値を考えよう。veを微分すると
dve
==
dr
Mm
--- +6 - (1.40)
mr.3
r
ひなるので、dvc/drが0となる位置には
GMm²
49.
-17,42)

ページ34:

となる。この値を式(740)に代入すると
Ve(ro) ==
G²M²²
-(7.43)
242
Ve
G
20
→
となる。このことをふまえると、万有引力を受ける物体の
有効ポテンシャルと原点からの距離の関係はグラフ
のようになる。
地球の速度ベクトルについても考えてみよう。速度
ベクトルは、軌道の接線方向を持つベクトルである。
また、 (7,12)から、位置ベクトルと平行な成分と垂直な
成分の和として得られる。すなわち、
i=rertree.-(2,44)
とかける。楕円は、その対象性から、図のように、
2=0となるような地点が2ヶ所存在する。すなわち、エネルギー保存則から、ひとは
2ヶ所の地点で同じ値をとる必要がある。そのためには、Veは食である必要が
ある。以上のことから、式(739)の正しさが示され、離心率がOKとくとなる
ことが示された。
(1,1,0) = (roost, ran P, 0). - (1.45).
式(7.45)に注意して、式(737)をデカルト座標での関数に直してみよう。
rtercoop=R-1746)
x2+2=1であることに注意し、式(746)にむ(7.45)を代入する。
√x²+ y² = R-Ex - (7.47).
両辺を2乗して
x²++ y² = ε²x² - 2εRx +R² (2.48).
さらに両辺を整理する。
50

ページ35:

2
(1-E²) x² + 2 ε Rx + 7² = R ² - (249)
ER
な
ここむと、Rを次のようにおく。
€ = 1 R = ½
C
a.
すると、弐(750)は
a²-
a2
R.
be a
t
a² a²-c²
(x+c)2,y2
R².
1-82
―(7.50)
(C=バード)-(751)
2
-) + y
-(7.52)
a² a²-c²
" (x+0)² + 1 = = = 1 - (7.53)
a2
ド
と、楕円の関数の標準形を得る。なお、隕石予彗星は、21となる軌道を
運動する場合もある。ここで、のは長半径小は短半径である。北(736)弍(751)
より、a,dは、
R
a =
GMm
R
1-82 2E
b =
=
2Em
fm -17.54)
とかけることがわかる。
7-5.ケプラー第3法則について
ここまでのことをふまえ、ケプラーの第3法則を考えよう。まずは、第2法則、式(7,18)は
ds L
(7.18)
dt
2m
であった。式(736)を用いて式(7.18)を書き直すと、
$ =
212 √GMR - (7.55).
2
51

ページ36:

一方で、楕円の面積Sは、式(7.54)から
S₁ = π a b = n
R2
(756)
(1-ε²)
と書ける。地球の公転周期を下とすると、ふとSの関係は、点が定数なので、
T
Ids
S₁ = √r de dt = ST. — (17.57)
-
0
となる。以上より
T=
So 2
TR2
=JGMR' = (
5 JOMR (1-8²) = √GM 1-9²
2匹R
2π
ニ
a² - (7.58).
a²(758)
NGM
とかける。両辺を2乗して整理すれば、
ア
4n2
a³
GM.
-(7.59).
と、太陽の質量のみによる量が現れる。ここから、周期の2乗と、長半径の
3の比はどの惑星でも一定であることがわかる。]
52

ページ37:

=
土
となる。ここで、武(722)を
dr
4
zmr
-)-(7.22).
√ALE +6 = 1 1/2 = 11. —(9.23).
Mm
22
dt
と変形し、両辺を0からT/2まで積分し、さらにこをかければ地球の公転
周期が得られる。
T=2166-M
-dt. -17.24).
Zmyz
話を地球の軌道に戻す。今、地球の位置を座標で議論しているので、地球
から原点までの距離は、時間との関数で表すよりも、北軸からの角度、中の関数
で表す方がラクである。合成関数の微分を考えると
dr
J = J J q
dp dt
と書けるので、
dr.
(7.25)
de
(7.26)
である。これで地球の位置の極座標表示の準備ができた。む(7.14),式(722)
式(726)から
dr
mre
-
de
L
M
'F 201
L²
rr2
(7.27)
と書ける。以下では、中が大きくなるときにも大きくなる。すなわちdry/dが正の場合
について議論する。ここで
1=1/
(7.28)
47.

ページ38:

8. 多粒子系
8-1 2体問題
位置形にそれぞれ質点れがあり、それぞれが屁の作用で運動してい
る。これらのFOMは
mit = F,
m
m = 2
-(8.17
となる。今、2つの質点に作用する力が、2質点の位置に依存することを考えよう。この
ような場合は素直にEDMを解くよりも、2質点の重心と、その相対的な位置に、
注目した方が議論しやすい。ここで、重心すると相対位置を次のようにおく。
mittit Matte
HG =
-18.2)
mitme
また、これらの位置での議論を容易にするため、全質量M換算質量Mを導入する。
MiMz
M = mitme
M=
Mither
M
mim² (8,3)
これらを用いてEOMをたてると、次のようになる。
2
=
=
μr - M² F₁ - MF - (8.4)
また、mmの角運動量の和風は次のようになる。
[] = π ₁ x mið, † π z X M z H = = 1 x Mic + x μr -18,5)
なお、2億点に働く力が相互作用による力のみであるとき、作用反作用の法則から
運動量は保存される。また、外力が質点にかかるなら、運動量の時間微分は、
各外力のモーメントの和となる。すなわち、
L = IN₁ +IN₂ - (8.6)
L=IN+IN2
53

ページ39:

8-2.ケプラーの法則の修正
7では質量門の太陽は原点に固定されているものとして、惑星の運動について
議論した。ここでは、惑星と太陽の質量を、ある位置を素として、2体問題として
扱う。2物体には相互に万有引力が作用し、外力は働いていないものとすると、それ
ぞれのEOMは、
い
mir. = 6
mim
111-112130
3 (H₁ = N2) M2H2 = 6
(12-1)-(8.7)
となる。重心と相対位置を用いてEOMを書き直すと、
MrG=0.
Mμ
7:3
pet = - GN & - (8:8).
となる。ここで6=0となる座標を考えると、角運動量の和は、
L= xxμ* -(8.9)
万有引力は中心力なので、水は保存される。7ではけが定ベクトルであるという前提
で議論していた。これはμ 極限、すなわち、あっくくがんのとき近似可能である。
実際、太陽系で最大質量の水でも太陽より十分に質量は小さいので十分な構
での議論が可能であったが、より正格な議論をするには太陽の質量をかけれど
修正する必要がある。
8-32物体の振動その1
mimi
→
ICL
+2
図のように、質量が、この質点がバネ定数自然長lのバネ
につながれており、1次元上で運動することを考えよう。質点
の位置をそれぞれえ」とすると、それぞれのFOMは
mix, = k(x²-x-1.) m² = k(x²-x-1) - (8.10)
である。ここで、次のように、重心と相対位置を導入する。
54

ページ40:

·NG =
mix,+Mztz
Mitm
1-22-21
-(8.11)
これと、全質量、慣算質量を用いてEOMを書くと、
136=0-(8.12)
Mx = -k (x - l) - (8.13).
式(9.12)から、この系の重心は等速で運動することがわかる。実際にこれを解き、
No = Cit+Cz-18,14)
を得る。式18.13)は非同次方程式と考えれば直ちに求まり、
x = Acoust. + Ban wt +l. (w /*) - (8.15).
である。ここから、丸い北のそれぞれの一般解を考えよう。式(8.1) (8,15)より
x2=MtAcoalt+Bawt+l.8.16)
これを、XGの式に代入し、
xc = M { Mx, + n ( Acoswt + Ban wi+l) } = C₁t + C₂ - (8.17)
よってれば
ス=Ct+Cュー(Acwt+Ban wottl)-(8.18)
である。式(8,16)(8,18)より、北は
x2=Ct+C2+(AcousttBarat+l)-18.19)
M
となり、質点の位置が求まった。
55

ページ41:

0
8-4 2物体の振動その2
k m k n k
x2
3人
→x
それぞれの質点のEOMは
図のように、質量の2つの焦点をバネ定数、自然長
lの3つのバネにつなぎ、1次元上で運動させる。ただし、
バネの両端は、位置0.3人でそれぞれ固定されている。
質点のつり合いの位置から右への変位を入ったっとすると、
_mλ₁ = - kα ++k(x2-x1). mx2 = -k (dr-x)-kx2 − (8,20)
である。ここで、このFOMの一般解を次のように仮定する。
2₁
=Goat x2=Czaint-(8.21)
C.C2,入について考えてみよう。Wとして、式(821)を実際に式18.29.
に代入してみると、
-21=-23 C + w Cz At
-18.22)
Czar at=wlaat-wiczaat.
両辺を入とであり、この連立方程式をベクトルとして整理してみよう。
セニーズ(
- X C = x² ( C ) ( 2 w³ C₁ + ofC ) = ( -2 w w
()
(8.25)
式(8.25)において=①なら、この系静止を得る。CDの場合、次の固有方程式
によって入について議論すればよい
det (-2w³ =/
1-20²+12² w²
=4wx+3m²=0-18,26)
-21" 72") ==
この方程式を解くことで、aは次の値を持つことがわかる。
56
1.
-(8.27)

ページ42:

入=1のとき、武(8,25)は
(w w²) (C₁) = 0 -(8.28)
となり、ここから
w² (C₁ + C₂) = 0 <=) C₁ = -Cz. - (8.29)
がわかる。また、入=wのとき、式(8,25)は
(-W W) (C₁) - 0 - 18.30)
となり、ここから
w2(C1-C2)=0(=C=C2-1831)
がわかる。
8-5 多粒子系
Nの多数の質点からなる糸を考えよう。活番目の質点の質量を、位置をみて、質点
が受ける外力の和をFi、目の質点から受ける力を守とする。このとき、活目の
質点のEOMは、
miti = Fit & Fij (j+c) — (8,32)
ここで、全質量M、重心位置を次のようにおく。
N
N
M=
M = Σ mr.
ITG =
-18.337
i=1
これをふまえ、作用反作用の法則、F=Pに注意して重心でのEOMをかくと、
57

ページ43:

Mito = 2 Fi - (8.34)
2=1
となり、重心の運動は糸に働く外力のみによることがわかる。特に糸に外力が
働かないとき、式 (8,34)は
Mi=0
-(8,35)
となり、全体での運動量が保存されることがわかる。
ここで、多粒子系における角運動量と運動エネルギーについて考えてみよう。重心
から見た、質点の位置をおとすると、
Ki - Ki-πo - (8,36)
とかけるかえ番目の質点の角運動量性は
4ii=ixmid=actμt')×mi(dcti)-(8:37)
iX Mi.
全ての質点の角運動量の和をとると、
Mi
L=2L=NxMio+mix
L = Σ L₁ = 16 x Mr G + Hz × Mr H - (8.37)
このように、原点から見た重心の回転と、重心から見た各質点の回転にわけて
考えることができる。また、番目の質点の運動エネルギーKiば
2
K₁ = ± mit = ½ mile + */ /* - (8.38).
2
全ての質点の運動エネルギーの和をとると.
N
N
matitis-ic) =Mio-Mio=0-1839)
2=1
となることに注意すれば次のようになる。
58

ページ44:

N
K = K = +M+G²
-mixi²
-18.40)
と、重心の運動エネルギーと、重心から見た相対的な運動のエネルギーに
わけて考えることができる。
59

ページ45:

•#• d x d t = # dr = xde + yd y + zd s = r — da + dy + =de).
を用いると
== r (3x dx+ or dy 13r/ d²) = rdr -(7.6)
Mm
Jy
Mm
JZ
- Solferide = - Son dr = 6M+C -17.7).
Mm
t
ニー
☑
と計算できる。辺々を整理して、次のエネルギー保存の式を得る。
2
Mm
上
1mx² - c M m = C. - 17.8) .
ここで万有引力ポテンシャルを
V = - GMm
r
-17.9)
とおけば、式15,23)を得る。
7-2 ケプラーの法則
天文学者のケプラーは、惑星が従う運動を解明した功労者として名高
い。ケプラーは惑星観測の正確なデータをもとに、以下の法則を唱えた。
01.楕円軌道の法則
惑星は、太陽をひとつの焦点とする楕円軌導
を描いて運動する。
02. 面積速度一定の法則 惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間に描く
面積(面積速度)は一定である。
03. 調和の法則
・惑星の公転周期の2乗と、楕円軌道長半径
の3乗の比は一定である。
44

ページ46:

力学
1. ベクトルの微積分と、位置、速度、加速度
1-1. ベクトルとスカラー
No.
○ベクトルー風(風向き、強さ)のように、向きと大きさを持つ数量
ex) 速度、力、電場etc..
Dato
○スカラー気温のように大きさのみを持つ(向きは考えなくてよい)数量
ex) 質量、エネルギー、電荷et...
○ベクトルの別の解釈
一般的にベクトルは以下のように、成分を並べて表現される。
Az
A=A=(Ax,Ag, Az)
1Ag
-(1,1)
TAZ
このように、ベクトルは成分を一列に並べたものとも考えられる。
(タテに並べたベクトルの方が、後に行列を作用させるときに扱いやすい)
1-2. ベクトルの微積分
例えば、変数もを持つベクトルの関数 A(t)を考える。
一般に、ベクトル関数は各成分が変数をもつ関数となっており、
A(t)=(Ax(t),Ag(t), Az(t))
のように表される。このベクトル関数をもで微分するには
各成分を上で微分すればよい。すなわち
dAlt)
dt
=(dat)
dt
/
dt
dale) LAz(e) dAz(9) -(1,2)
d^A (t)
dtn
den
と書ける。2回以上微分するときも同様に
dtn
dt
=14 {"An(e) { "Ay(+) d"Az(t))-(1,3)
リー

ページ47:

9. 剛体の運動
9-1.質点と剛体
今まで議論してきたのは、質量を持つが大きさを持たない質点の運動であった。
ここではある程度の大きさを持ち、変形しない物体の運動を考えることにする。
上に述べた条件を満たすような物体は風体とムラの剛体の運動は物体を
細かく分割し、1つ1つのパーツを質点と見なして考えるのが基本である。
リース 固定軸まわりの回転
S
図のように原点に固定された剛体がで軸まわりに角速度
で回転している。剛体をNこの微小なパーツに分割し、諸
目のパーツの質量を原点から見た位置をおとする。このパ
ーツを十分小さいものと仮定し、質点と見なすと、このパーツの
角運動量人は
となり、剛体全体での角運動量は
N
4:
---
である。パーツと原点との距離が一定でパーツが原点に対して回転のみをしていることに
注意すると
Hi
=WXT - (9.3).
である。ここで、この剛体はも軸まわりでのみ回軸しているので、速度はWzとか
けること虹のなす角度を母とすると、行うの大きさは
181 = (wxrl=wriadi- (9.4)
また、外積の性質からおっとあるは直交しているので、 その大きさは

ページ48:

N
Dati
| L+ ì| = | iti ×m; ( W x 1 ; ) | = miri²wain dr — (9.5).
-
である。今はで軸まわりでの回転を考えているので、角運動量の成分に注目し
よう。と4は直しているので、その成分は次のようになる。
Liz = | Li | ah Di = miriwa? Di - (9.6).
これを剛体全体で和をとれば、
N
2
2
Lia-(8.7)
Liz = 2 Lizz = 2, mir, sm² Diw - (9.7).
ここで、微小なパーツの体積をした、その密度をことおくと式(97)は、
2
- Avi pris 2 Diw - 19.8)
Lz
N
= 1
7=1
この体積を無限に小さくする極限を考えると、離算的な和は連続的な和まな
わち核分に書き換わる。すなわち、
= 1, p
= kehyde (ty) - (3.9)
ここで慣性モーメントを次のように導入する。
I = 1, dxdyda platy²) - (9.10).
ただし、Dは剛体の存在する領域を示す。これより、式(9.9)は、
Liz=I
L₁₂ =Iw - (9.11)
-(9.11).
と書き換わる。なお、運動量は創速度とは異なり、物体の運動を観測する位
置にもよる量であるため、一般的にベクトルの向きは異なる。
61

ページ49:

9-3 慣性モーメント
6-2で現れた、回転のEOMは次のようなものであった。
L=1
L = IN - (9.12).
これぞ、固定軸まわりの回転に当てはめてみよう。Iが時間依存性を持たな
いことに注意すると、1912)の成分は
N2=Lz=Iw-19.13)
となる。角速度が回転角中の時間微分であることを考えれば、
Nz=IT-19.14)
ここで、質点の逆進運動のFOMを思い出してみよう。
Fx = mx - (9.15).
式(915)において、質量は、力に対する加速のしにくさを表す量と解釈さ
れる。これと式(9.14)の対応を考えると、慣性モーメントⅠは力に対する回転の
しにくさを表す量と解釈できる。
9-4.固定軸まわりの回転エネルギー
9-2で議論した剛体の、回転によるエネルギーを考えよう。三番目のパーツ
が持つ運動エネルギーKiは
==
12=1/2m² -19.16)
であり、剛体全体での運動エネルギーKは
N
N
x=2Ki=imitz-19.70
62

ページ50:

となる。ここで、速度及びその大きさが式(9.3)(9.4)のように書けること
に注意すると、式(917)は
K = 1/2 m² (crisi di)² - (9.18)
5=12
ここで、微小なパーツの体積をAVi、その密度をとおくと、式(9.18)は
2
K = = ? }, AV = p² ɣ?² d²±² De w² – (9.19)
2
-
となる。AV Dの極限を考えれば、19,19)は積分に書き換わり
K = = = = √ ₂d V p (x² + y² ) w² - (920)
2
となる。式(9,10)より慣性モーメントを導入すると、回転の運動エネルギー
が次のように求まる。
K==== I w² - (9.21)
9-5 剛体の3次元の回転
これまでの議論の拡張として、3次元方向に自由に回転する剛体を考えよう。
剛体を例によって小さなパーツに分割し、九番目のパーツの質量を入れ位置を
みたとする。簡単のため、この剛体の重心は原点に固定されているものとして扱
うと、番目のパーツの角運動量は
X Mk Ak
4* = x*x** - (9,22)
であり、剛体全体では、
4
11
N
ELA = rxxmkirk - (9.23).
63

ページ51:

である。今回、剛体の回転軸はを軸に固定されているとは限らないので、3次
元に拡張した速度ベクトルを考えよう。このことをふまえると、各パーツの速度は、
Wi
[14]
Tk = W X H k
=
wy X Jk
[Zwy- HWB-
xkwz-ZxWx
(9.24)
Wz
YkWx-xk Wyl
と書ける。これをふまえて、式(9.22)を成分表示で書くと
(xk)
[Zkwy - Yk Wz
[ ( JE² + Z) Wx - XA YA Wy-XkZkWzZ
ykwx-tkwg)
Lk = yk x Mk xkwz - Zz wx = mk - X+yk Wx + (x² + Z) wy - JkZkwz - (9.25).
Zk
--Xk Ek Wx - TREK Wy + ( X k² + JR) W₂)
となる。 19,25)の右辺は、行列と列ベクトルの積に書き直すことができ、
[Jtz Akk -XkZk
Wx
k = mk tk Ik XE TZR - JkZk
wy (9.267.
19,262
Wz
ここで、位置ベクトルをγ=(x,y,z)=(r1,12,13)と書くことにすると、式(7.26)の行
列の対成分は、クロネッカーのデルタを用いて
[[k = mk (µ k²³ {z} = r + ¿ ɣk ;) w — (9.27).
と書くことができる。以上より、式(9.23)は
N
| | = Σ m k ( V k² S i j − r k i ľ kj) & — (9.28)
1=1
微小なパーツの体積をAV、密度をPとすれば、式(9.28)は
IV
L = { ≤ Vk p &l¥¥³ dij−rkirkj) w — (9,29).
-
となる。AVOの極限で、式(9.29)は積分に書き換わり、
dv
L = /dVpr`by-riri) - (9.30)
64

ページ52:

となる。ここで、慣性モーメントテンソル、あるいは慣性テンソルを導入し、その成分
を次のように置く。
Izj = fpdVe('fig-rerg) -(9.31)
これを用いれば、式(9:30)は次のように書ける。
4 =100 (9,32)
Ⅰはテンソルであるので、一般には4とは平行なベクトルではない。
式(9.26)から、Ⅰは実対象行列であることがわかる。よって、回転を考える軸をうまく
とれば、Ⅰは対角行列となる。このとき用いられる座標軸を慣性主軸といい対
化された土を主慣性モーメントという。
9-6. 回転エネルギー
3次元方向に回転する剛体はどのようなエネルギーを持つのか考えよう。7-5で議論
した剛体の番目のパーツが持つ運動エネルギーKkは
K+ = — — MAUA²
-(9.33).
であり、剛体全体では、
=
Kk
mki-(934)
ここで速度が式(9.24)のように記述されることに注意すると、
(ZY WY - YAWZ
Kik
===
2.
Lyk W x - xk wy
(9.35)
=½m+ {wélyi+ zi) + wj (z+x) + Wälde+yk)-Zwzxza-zweyuz-24x24X4
Mk
65

ページ53:

式(9.35)の右辺は、3次の行ベクトルと列ベクトルの積に書き直すことができ、
(Wx(y²+Z₁²) - Wy xxy + - wat
Kk
K+ = =
- 19,36)
- Mk ( Wx Wy Wz) - Wx x x Y k + Wylx k +Zk) - WzYkZk.
l - W x X k z k - Wy Y k z k + Well k² + Y k) |
さらに列ベクトルは行列と列ベクトルの積に書き直すことができ、
[YE²+ZR² -xkyk -XkZk
K4 = = M + (Wx. Wy wz) = x+7+
mk(wxWywz) -
fwxl
xk²+Zk² - Jk Z k
w-19:37)
-xkZk
-JkZk x²+1)(W2)
ここで現れる行列を式(9.27)のように書くことにして、をμを転置した
行ベクトルとして導入すると、式(9.37)は
Kk = 1/1 m k² werk² Si j - rir y d w
(
-(9:38)
となる。以上より式(934)は、
N
=2
七
= 1/1/1/12m+ = w(x & Sij - rity) w — (9.39)
72
微小なパーツの体積をAVK、密度をCとすれば、式(9.39)は
T
-
K = 1 t w Z ≤ V k p k CT k dij−rz rz) y − (9.40)
2
*
となる。AVOの極限で、式(9.40)は積分になり、
K
x = 1
ty
So d V p ( 1³ S i j - rarj) w — (19.41).
2
ここで、式(9.31)のように慣性テンソルを導入すれば、式19.41)は、
w
となる。
K = 1 + WIN - (9.42)
66

ページ54:

No
Den
9-7 剛体の並進運動
NG
心
剛体全体が力を受けて並進運動をしていることを考えよう。
原点から見た剛体の重心の位置をHらとする。また、剛体をN
個の微小なパーツに分割し、九番目のパーツの質量をmki
原点から見た位置をみれ、重心から見た相対的な位置をよん
とし、剛体全体の質量をMとする。定義から、M、YGは
N
M = Σ mk
N
#6=2mkitt
M
_(9.43)
を満たす。番目のパーツが受ける外力を飛来、人番目のパーツから受ける相互
作用の力を守れとすると、九番目のパーツのEOMは
N
11
m k W k = F k + E F k l - (9.44).
となる。作用、反作用の法則Ph=Fxtに注意して剛体全体で和をとると、
N
Mio =ZFk
―(9.45)
となる。式(9.45)は位置にある質量Mの質点が、カ肢を受けて運動
する際のFOMと等価であり、これは質点近似の根拠である。
次に、運動エネルギーについて考えよう。九番目のパーツが持つ運動エネルギーは、
Kx=/mkitk=1/21malistic (946)
2
H
| ² -
式(9.46)を、剛体全体で和をとると、
; mkr k = 0
-(2.47)
になることに注意すると次のようになる。
62

ページ55:

K = E, K₁ = 1 M² ² + } = ½ m² kik² - (9.48)
2
mk
式(9,48)の第2項は、9-6の議論より回転による運動エネルギーである
ことがわかる。また、は重心の速度であり、これをひと書くと、式19.48)は
2
K = \/\MW² + 1 * wIw - (9.49).
となり、並進運動と回転運動のエネルギーに分けて考えることができる。
9-8 斜面を転がる円柱
中で
図のように底面の半径がれで高さが人の円柱
が、水平面からの角度が中の斜面に置かれて
いる。斜面と平行下向きに軸、斜面と鉛直上
向きにな軸、手前向きに軸を置き、円柱の
運動を考えてみよう。円柱には動力Mgと、摩擦
カチがかかるとすると、円柱の北方向の並進のFOMは、
Mä - Mgand-f -(9,50).
また、円柱は3軸まわりのみで回転するものとし、重心まわりの円柱の回転角
を母とすると角運動量の成分は、
L√ ₂ = Iµ³ Û + 1 ² ² ²Û + I ³ ³ Ò = 1 ³ ³ Ò² - (951).
よって、方向の回転のEOMは
I=fa-19,52)
となる。ここで、式(952)中の慣性モーメントを計算しておこう式(931)より
d •-
133 = √ od vp ( 1 8 33 — 2. 2) = √, dV p(x²+ y²>
68
Sndveity) (9.53)

ページ56:

x =
//gaid.
(9.62)
となる。摩擦力の作用により、加速度が小さくなることがわかる。
次に、円柱が持つエネルギーについて考えよう。(9,50)をエネルギー積分すると、
1/12/Mi=Mgxamp-ffidt -(9.63)
となる。また、式(9.52)の両辺に角速度をかけて時間で積分しやることはエネルギー
積分とたいして変わらない)すると、
2.
[ 13 Ö Ö dt = 1½ 133 0² = [ faidi. — 19.69).
左辺は、式(9,56)から。
-Ⅰ33θ
=
Iss² - 1 Ma²ð² - (7.65)
4
となる。円柱がすべらずに転がるとすると、式1958)が成立するので、式(9.64)
は次のようになる。
4
+ Mladi = \ Mx² = √ fadde = [fidt — (9.66)
2/ M²x² = Mgxand. — (9.67)
ここで、式(9,63)(9,66)の認々を足すと、
3
4
112
ここから、円柱が持つ運動エネルギーと、円柱が進む距離の関係がわかる。
=
K = 1Mx² - — Mgxa' | -(9.60)
70

ページ57:

Dist
式(9.53)は、直交座標のままでは計算しにくいので、円筒座標で計算
してみよう。
OL
11s = ["dr [² d9 ft de pr six on
["dr S² de Lodz pr² = —— π pa³l.
(9.54)
また、この円柱の密度は
M
M
Kat
p=1= -19.55)
なので、
M
I₁ = ±² + M²² - (9.56)
=
よって、1952)は
1/2/Ma²=fa-19:57)
と書かれる。ここで、円柱がすべらずに転がることを考えよう。
x=a(9,58)
円柱がすべらないならば、水と日は式(2,58)を満たすので、弍(9.57)は、
/MX=f-19.60)
と書き換えられる。ここで式(950)(9,60)の辺々を足すと、
=
→ MX - Mgand
となり、円柱の加速度は
69
(9,61)

ページ58:

(
7-3 ケプラー第2法則について
)
(
(
(
(
(
(
(
(
y
m
図のように質量mの地球が、質量Mの太陽から万
引力を受けて運動することを考えよう。ただし、MIと
→し、太陽は原点に固定されているものとして考える。。
地球が受ける力は.
F= -GMm
・
―(7,10)
と、位置ベクトルと平行なので中心力と考えられる。このことから、地球は同一平面上
を運動することと、地球の角運動量は一定であることがわかる。ここで、地球の位
道を極座標で表わすと、
r = r (cost, and, 0) — (7.11)
となる。同一平面を動くことから、北面での運動を議論するため、z=0として
いる。地球の速度は
it = ŕ (cost, sm 4, 0) tre(-smp, cost, 0) — (7.12).
-
とかける。ここから地球の角運動量を考える。
||₁ = 1 x my = rond, s² 4,0) xm {r (cost, a' &,0\tr$ (-_sid.cc 4,0)}
= Otmr² & (0,0,1). = mr² paz
ここから、運動量の大きさは
atdr
ds
→(7,13)
L = m²² & — (7,14).
と求まる。このことをふまえて、ケプラーの法則について考えて
みよう。まずは第2法則から。地球が少しだけ動き、その間に
太陽と地球とを親分が横切る面積を考える。その変位
をdi, 何度差をdp.とすると、この図形は図のような三角形に
近似できる。この三角形の面積dsは
45

ページ59:

ds=1/2/1ll+dalamdp.(7,15)
とかける。何度差dもは十分に小さいので、Idol-doirladp=dより
ds=1/rirdp=//ride-(7.16))
となる。式(7.16)の両辺を、微小時間dtでわれば、
dt
= 1
rede (7.17)
と、面積速度を導ける。式(717)の右辺は、式(7,14)より、
ム
-(7.18)
2m
と書き換わり、面積速度が一定であることが示された。
7-9 ケプラン第1法則と、二次曲線について
ケプラーの第1法則を、エネルギー保存則から導出する。地球が持つ力学的エネルギー
をEとすると、
02
E = 1nj² - 6 mm - (7.19)
Mm
r
ここで、速度の2乗は、むして12)から
jj²=j²² + r²ð² - (7.20)
このことと、式(714)をふまえて式(7,19)を書き直すと、
正
-mr
2
2112
6MM (7.21)
となる。この式を主について解くと、
46

ページ60:

であることを用いた。さて、中心力が働く物体の力のモーメントは、
N = 4 × fr = 0.
--(6.16)
となり、回転のEOMは
L = 0
-(6,17)
となる。このとき、両辺を時間で積分すれば、
L=C-16,18)
と定ベクトルが得られる。
このことから、中心力の働く物体について、角運動量が保存されることがわかる。
角運動量が保存されるとき、物体は同一平面上で運動をする。つまり、物体
に中心力のみが働くとき、物体は二次元的
PL=C
運動をすることが言える。
同然物体に働く外力が0のときも
0 = xx0=0-16,172
が言え、この場合も角運動量保存が言える。運動量は観測者の位置による
量であるということは常に意識すべきである。
42

ページ61:

10.
剛体の複雑な運動
8
10-1 オイラーの運動方程式
ここでは、図のように剛体と一緒に回転する座標を
考えてみよう。を軸周で一定の速度で回転
しているとすると静止系に対して此は、
(x, y, z) = (x' cos wt + y'a et, - x'a' wt + y'cosit, &') - (10,1).
と書ける。この回転系に対して「静止」している点の速度はメンズが定数なので、
v = (x, Ŷ}, }) = (-x'wa'wx + I'w cocot, - x'wcoswt - " [ws' wt, 0)
=(wy,wx,0)
である。角速度w=wezを考えると、弍(10,2)は
-
(10,2)
v = 1 = wxx
-(1013)
のように書ける。このことを拡張すると、回転糸に固定された任意のベクトル
Aの時間微分が
A=wxA
-(10.4)
と書けることがわかる。よって、回転系での単位ベクトルの時間微分も
&x=wxPx &y=wxen is =Wx&2 - (105)
と書ける。(3-5も参照)
ここで、回転系における、回転のFOMを考えよう。
#=N
dt = IN
71
-(10.6)

ページ62:

回転系では単位ベクトルも時間の関数であるので、丸、、三成分をそれぞれ
第1、2、3成分とよぶことにすると式(10.6)の左辺は
d.
{{ }} Laα = { { { Liα + L; &i } = }} { L₁eit Li(wxei}]} −(10.7)
dt
1=1
となる。これを計算し、成分ごとにまとめると、
N₁ = L₁₁ + (L3W₂-L2W3)
Nz = Liz + (L, W3 -43W1)
N3=Lat (Lewi-LiW)
-110.8)
と、オイラーの運動方程式を得る。慣性主軸のもとでは、角運動量の成分
がLi=IWと書けるので式(10.8)は
N₁ = I, w₁+ W₂W3l13-12)
N2=12002+WW(I-I3)
N3 = 13 W3 + WiWz (Iz −1;)
と書き直せる。
10-2 対称コマの自由回転
-110.9)
慣性主軸を考えるとき、慣性モーメントの対角成分が等しい剛体を、軸対称剛
とか、対称コマという。剛体の軸の剛で対称で、IIであるような
体の外力のモーメントを受けない、すなわちIN=0である場合の回転を考えよう。
以上の条件を勘案すると、弐110.7)は次のように書ける。
0 = 1, W₁+ W2 W3 (13-11).
D = I, W₂ + W₂ Wi (11-13).
-(10.10)
0 = 13W3
Ⅰは定数なので、式(10.10)の第3からWsは定数となる。ここで定数を
72

ページ63:

n =
11-13
W3
-(10,11)
Il
と置くと、式(10.10)の第1式第2式は
W-7w2=0 W2+701=0
_(10.12)
と書ける。この連立微分方程式の作業は
W₁ = Aan (74+8) W₂ = A cos (7++$)-(10.13).
となる。ただし、A.Sは任意定数である。
ここまでのことをまとめておこう。角速度は
W=(Aain(t+),Aco(7t+8),W2)-(10.14)
と書け、このことは剛体の回転軸が角速度で
x-9平面を回転することを意味する。これはコマ
を回したときなどに観察される、歳差運動とか、
みそすり運動と呼ばれる現象を現している。
剛体の角運動量についても考えよう。11=12から
4L=LI, WI, II W2, 13 W3) -(10,15)
と書け、式(10,(4)を用いると黒の大きさは
z
一例速度で回転
· L₁ = √(1, W₁)² + (I, W₂) ² + 113W3)² = √ √\[₁A]² + 13 W3)² - (10.16)
と書ける。ここからムは定数であることがわかる。
回転のエネルギーについても考察しよう。回転のエネルギーは式(9,42)のように
書けるので、
E=1/2Iw+/2/22w+1/23002-110,17)
2.
となる。時間変化を調べるため、両辺を時間微分すると
73

ページ64:

LE
· = I₁W₁ W₁ + IzWz W₂ + Is W3 W3
(10.18)
We
となる。(10.10)を用いると、(10.18)は
E
· = W₁WzW3 (I₁-I₂) + W2 W3 Wil Is-I₁) + W3 · 0 = 0 = (10-19)
と書き換えられ、エネルギーが保存されることがわかった。
10-3.角速度と角運動量の向き、
ここからは、剛体と供に回転する座標は忘れてしまい、ふつうの座標の話に戻る。
9で示したように、速度と角運動量山の間には線形写係の関係がある。
=Iw.
- 19,32)
2
この、ひと山の線形写像を表すテンソルⅠを、慣性テンソルと呼ぶのだった。
一般に、テンソルで結ばれたベクトル同士は平行でないので、例外はあるがんと
山は平行ではない。すると、角運動量は保存されないのか?と誤解をしてしま
いそうになる。その誤解の理由として、「回
転軸」という言葉の微妙さがある。左図
のように、無動下で糸につながれたペン
を手離すことを考えよう。ペンは糸の張力を
MJ
中心力として受けるので、ペンの角運動量は保存されるが、ペン自体の回転の向
きはくるくると変わってしまうかもしれない。ここで注意してほしいのは「自転」と
「公転」の違いである。少し考えればわかるが、ペンの「転」の向きが変わっ
たとしても、その「公転」のようすは変わらない。つまり、「公転」の安定性を示
すのが角運動量である。
74

ページ65:

5 仕事と力学的エネルギー
5-1 仕事
Alt
図のように物体に一定の力量をかけて、その位置が△れだけ移
動したとする。このとき、たが物体に仕事をしたという。力の
W=FIATの仕事向きと移動の向きは一致している必要はなく、仕事の大きさ
は、物件にかけられた力と物体の変位の内積で得られる。
-(5,1).
W = F.AK
式(5.1)から、仕事はスカラー量であることがわかる。また力の向きと変位の向きが
垂直であるとき、力は仕事をしない。また、力が一定ではなく、物体の移動経路が
曲線であるときは、経路を微小な区間にわけて考え
ればよい。直線と見なせるほどの数小な区間での仕事
量SW.
SW=F.SH-15.2)
と表される。始点から終点までの全仕事量は式(5,2)の
始点から終点までの和をとればよくSH→の極限で
は和の計算は積分に書き換わるので
W = — Fire = L F⋅dr. -(5.3)
となる。インテグラルの添え字では物体の移動経路を示すものである。このよう
に、その経路までもを議論の対象とした積分を続積分という。実際に統積分を
実行するには、曲線を指定できる任意のパラメータ(例えば、ひ)を用いて、次のよう
に置換すれば、計算しやすくなる。
W = Sc F⋅ dr = 1" F.dr du (5,4)
-
du

ページ66:

5-2 エネルギー積分と運動エネルギー
ここでEOMについて考えてみよう。EOMの両辺に、速度を内積でかけて、両辺
を時刻からで積分すると次のようになる。
di
m
de dt dt = Sr p. dr de
(5,5)
式(5,5)の右辺について、時間とは、物体の位置を指定する変数であるので、
物体の軌道を示すパラメータであると考えられる。すなわち右辺は
tz
dr
St² ² F. dt = Sc F• dH - (5.6)
と変形でき、これは時刻ちからたまでに力が物体にした仕事であるとわかる。
一方左辺は、合成関数の微分を考慮して次のように計算できる。
[ " mr i de - Si de lf mr ] de -[{minet] 12 (57)
=
=
一般に、A・ALAは同値であることに注意しよう。ここで時刻ちのときの速度
をひたのときのそれをひとおくと、式(5,7)は
2
Jiminitde=/12mv-1/2mv -(5.8)
となる。ここで物体の運動エネルギーを次のように定義する
2
K=1mv² = 1m²² - (5.9)
2
2
すなわち、運動する物体は質量と速度の2乗に比例した量のエネルギーを
持つ。茂(5点)から、物体がされた仕事は運動エネルギーの変化に等しいことがわかる。
Imvi - mu₁ = S₁f.dr - (5,10)
1m v² 1m F⋅d w
30

ページ67:

なお、このようにFOMの両辺に速度をかけ、時間で積分する、という計算を
エネルギー積分という。
5-3 ポテンシャルエネルギー
位置のみに依存ししつまり一点一点の値は時間によらない)、エネルギーの次元を
持つスカラー関数(そ)を考える。物体がある位置にいると、その位置に応じた。
エネルギーを持つことをイメージしょう。このように、物体の位置によって定まる。
物体が持つエネルギーを、ポテンシャルエネルギー、位置エネルギーという。ここで、質
が位置にあるときと汁+ARにあるときのポテンシャルエネルギーの差を考える。
AV=U(rtar)-(2)-(5,11)
位置の関数は式(114)からの多変数関数と考えることもできる。こ
こで、社会とを多数の形にして式(511)を書き直すと、
AU = √(x+4x, y+ay; 2+42) - √(x, y, z)
=√(x+x+4y, z+42) - Vytay, 2+Az)
+√(x, 9+09, 2+12) - U(x, 1, 2+Az) + v(x, y, z + A²) U(x,y,z))
7.2
ここで、式(5,12)の2,3行目が1変数のみを動かしていることに注意しよう。
式(5.12)は、動いた変数に注目し、次のように変形できる
(5.12)
√(x+AX, 7,2)=√(x, y, z)
AU=
-Mt
4x
47
+
AZ
(1)-2-(5.13)
ここで、Aの極限を考えるとじの全微分を得ることになる。つまり
d V - Z U
-dx + 3y dy + 3/2 dz - (5,19).
ax
22
(5.14)は、微小変位ベクトルとひきつったってそれぞれで偏微分した成分
31

ページ68:

を持つベクトルの内積に書き直すことができ、
dv = (34, 35, 22 )·(dx, dy, dz) - (5,15)
となる。ここで現れる、スカラー関数を偏微分した成分を並べたベクトルを勾配
グラディエントという。じの勾配は次のように書く。
20 2421) - (5.16)
grad U = DU = (V
記号gendはgredientからとられたものである。✓はナブラといい、以下のように
定義される次第である。
D=13
2
▷=1品)-15,17)
✓はあくまでも子でありこれ単体ではベクトルとして意味をなさない。ここで、
式(5.15)の両辺を微小時間dtであると、左辺はひの時間微分、右はひの
勾配と質点の速度との内積となる。
dt
11 - VU. - (5.18)
ここで、次のような力を考える。
圧(日)=-DV(1)-(5.19)
このように、ポテンシャルの勾配の逆ベクトルで与えられるような力を保存力
という。ポテンシャルは位置のみに依存するスカラー関数が保存力も同様に位
置のみに依存するベクトル関数である。
5-4 力学的エネルギー保存則
位置(土)にある質量の質点に保存力がかかることを考えよう。
(5,19)から質点のEOMは
32

ページ69:

mit =-VU
-
-(5,20)
となる。式(5,20)の両辺にエネルギー積分をすると
Smr.jdt - J-VV-jdt - (5,21)
=
左辺の計算は式(5.7)と同様である。各辺は式(5,18)より
- S
dv
dt
S-vv. dt = f-dl dt = - V+C. — (5.22)
となる。両辺を整理して
1/2zmi2+U=C-15,23)
となる。式(5,23)の右沢は定数、すなわち時間によらず一定であることを示しており、
左辺は運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和である。ここで示された
運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和が一定であるという法則を力学的
エネルギー保存則という。
ここで、動力が質点にする仕事の例を確認しよう。
E
Vo
Zo
図のように、一様に動力のかかる空間で初速度計(-Voes
位置(=zzから質点を投げる。EOMは
PF-nger
mir=mgez-15,24)
y
x
となり位置ベクトルの特殊解は
(x, y, z) = (0, Vot. 2.-1912) - (5,25)
となる。ここで、式(5,25)からパラメータを消去し、なときの関係を調べる。
g
Z=Zo-
2012
yz
(5,26)
33.

ページ70:

となり、文字通り放物線を得る。ここで、とした)=0とすると、さは
280
=
(5,27)
となり、時刻における点の位置は、
g
Vo 280)
(t)=(0, V. 22 0)-(5,28)
となる。さて、式(5.24)のEOMを、時刻からもまでエネルギー積分してみよう。
=
Link-de-Longes-de-(5,29)
0
左辺は量(t)=V」とおけば直ちに計算でき、
Smiride=/1/mo² 1/2m²(5,30)
一方辺は、次のようになる。
Lo mjeri dt = [" (0,0,- mg)+(0,\, -ge) dt = "my²+ de
2220
= [ { mg*e*]" = ½ mg*t? — [mg² * -20 - (5,31)
ここで、右についてもう少し考えてみよう。式(5,6),(5,9)から、物体の運動
る軌道を示すパラメータは、何も上である必要はない。ここで、パラメータをなで
考え、yの置換積分によって動がした仕事を考えよう。すると、
dr
["nger & de = Longer dr = 1 nga dy - (5, 32).
(0)
となる。(5,2)を用いてすまで微分すると、
39

ページ71:

dr
27
(番号)=(0,1,-1)-(5,3)
よって、式(5,32)は次のようになる。
(it)
10
(5)
-
-(5,34)
12(0)
==[r]=mgeo
式(5,31)と同じ値を得られたことがわかる。武(5,34)に表れた
mg
fly) - 2012 - y² (5,35)
は、位置のみによる関数であるため、ポテンシャルと見なすことができ辺々を整理。
すると、次のように力学的エネルギー保存則を示せる。
12m²=mg20t/m² -15,36)
5-5 保存力について
ここで、保存力を時刻、ちからたまでエネルギー積分することを考えよう。
S" - DU•rde = ft² - 4 de = [-Verm)] ((5,37)
dt
式(537)を見ると、保存力のエネルギー積分は(その数学的な性質によって)始点
()と終点)さえわかってしまえば、その値は求まってしまう。なり、保存力する
仕事は、物体の軌道によらず決まる。図のように、2点A.Bの間の整理をつ
考えよう。 保存力のする仕事はその経路によらないので、
B
AM
So. vv.dr - Sc. -DU-dr- (5,38)
35

ページ72:

となるはずだ。ここで、AからCを通ってBに至り、そこからC2を通ってAに戻る
ループ状の経路を考えると、式(5,38)は次のように書きかえられる。
= fc. VU •dr - / vv dr = b - vv ·d −15,39)
式(5,10)の事は、閉じた経路での積分を意味する。この記号を用いた積分は、
特に周回積分という。このことをふまえて動力を周回積分してみよう。
{-mger da = Snger.dr + S., gender + 1 nge-dr
1 = 1 [π₁ = (0.71, 2₁) 12 = (0, 12, 2₁) 3 = (0, y, z=)) -
-15,40)
Z₁
まず、第1項を考える。→この移動ではそこで、に沿った移動である。
よって、なで置換積分をすると
- - - y = fy", Ody = 0 - (5,091)
次に、第2項では、y=yzに沿った移動であるので、区で置換積分をすると
Sponger do - for mye ft de- ("-de-ng-(5)
次に第3項は左=(2-2)y/[リュー)に沿った移動であり、まで置換積分をすると、
To gender = for" -nge of dy = Soy ng 31-7, dy =mple--21)-(5,43)
e-y
よって、式(541),(5,92)(5,43)の計算結果をたし合わせると
§ -mgord# = 0+mg(z1-2₁) + mg(2x-1)=0 -(5,44)
が確かめられる。
36

ページ73:

5-6非保存力のする仕事
保存力でない力を、区別の意をこめて非保存力という。さて、質点に保存力と非
保存力がかかっている場面を考えよう。非保存力をすると、EOMは
-VUTF -(5,45)
である両辺をエネルギー分すると
ni²+v = √ F'dr - 15,46)
となる。式(546) 月が実数でないことから非保存力が仕事すると、力学的
エネルギーの量が変化することがわかる。このことをふまえて、減衰援助をエネルギー
の視点から論しよう。誠実振動のEOMは
mλ--kx-pix - (5,47)
両辺をエネルギー積分すると
fmide-food pride
4
6-tid=mx
2
2
tox = f -kxdx - fµ³ïde = - 1 kx²-µ/ide]
両辺を整理して
t
++-de-(5.99)
2
=
-15.48).
ここに現れる。/kexは、位置のみによる関数なので、ポテンシャルである。よって
左はこの糸が持つ力学的エネルギーである。一方、右は抵抗力がする仕事で
ある。ここでも辺をEとおき、両辺を時間微分すると、
37

ページ74:

E = -μx²
-(5,50)
と負の値を得る。つまりこの糸が持つ力学的エネルギーは、時間と供に
減少していることを意味する。やがて、この系は力学的エネルギーを完全に失い。
質点は静止してしまう。ここに上げた例のように、非保存力が仕事をした事課
力学的エネルギーが減少することをエネルギーの散逸という。このように抵抗力が
仕事をすると、糸の持つ力学的エネルギーは、熱など他のエネルギーに変わることが
知られている。このことから、力学系よりも広い視野に立てば、全体としてエネル
ギーは保存されることがわかる。
38