ルーシー

nを2以上の自然数とする。平面上の三角形OA1A2は 角OA2A1＝90°,OA1＝1,A1A2＝1/√nを満たすとする。 A2からOA1へ垂線を下ろし,交点をA3とする。 A3からOA2へ垂線を下ろし,交点をA4とする。 以下同様に,k＝4,5,...について,AkからOA(k -1)へ垂線を下ろし, 交点をA(k＋1)として,順番にA5,A6...を定める。 hk↑＝A(k)A(k＋1)↑とおくとき, (1)k＝1,2,...のとき,ベクトルhk↑とh(k＋1)↑の内積 hk↑・h(k＋1)↑をnとkで表せ。 (2)Sn＝Σ(k＝1→n)hk↑・h(k＋1)↑とおくとき, 極限値lim(n→∞)Snを求めよ。ここで,自然対数の底eについて, e＝lim(n→∞)(1＋(1/n))^nであることを用いてもよい。 (東北大)