例題 △ABCの辺BC, CA, ABの中点を,それぞれL,M,Nと
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する。 また, △ABCの重心を G, ALMNの重心をG' とする。
このとき、次のことを証明せよ。
(1) GとG′は一致する。
(2) 等式 AL+BM+CN = 0 が成り立つ。
証明 A, B, C, G の位置ベクトルを,それぞれ,も
L,M,N, G′ の位置ベクトルを,それぞれ, m
と
n o
とする。
i+m+n
(1)
3
3
10
また
i = b + c
c+a
a+b
m=
2
2'
2
よって
1
à = ¦ ( ±ć¸ ‡à¸
(b + c + c + à + a + b) =
+b)¸à±¯ ± ¢
=
++
3 2
2
2
g=gとなるから、GとGは一致する。
(2) AL+BM+CN=(-a)+(m-b)+(n−c)
=(i+m+n)-(i++)
=3g-3g
=0