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基本例題 79 三角形の周の長さの比較
△ABCの3つの中線をAD, BE, CF とするとき
(1) 2AD <AB + AC が成り立つことを証明せよ。
(2) AD+BE+CF < AB+BC+CA が成り立つことを証明
せよ。
[CHART 三角形の辺の長さの比較
解答
(1) 線分 AD のDを越える延長上に
DA' =AD となる点A'をとると四角
形 ABA'C は平行四辺形となる。
ゆえに
AC=BA'
△ABA' において
TUISHO SET COMM
指針 (1) 2ADは中線 AD を2倍にのばしたものである。 _#WLXOASKORA
中線は2倍にのばす 平行四辺形の利用
右図のように,平行四辺形を作ると (DA'=AD), AC は BA'
に移るから, △ABA' において, 三角形の辺の長さの関係
!
(2辺の長さの和)> (他の1辺の長さ)
を利用する。
(2)
(1) は (2) のヒント 他の中線 BE, CFについても
(1) と同様の不等式を作り,それらの辺々を加える。
AA' <AB+BA'
よって
(2) (1) と同様にして
2AD<AB+AC ......
練習
③ 79
(3)
2BE < BC+AB
2CF <CA+BC
①~③の辺々を加えると
ゆえに
①
3
.........
D
基本事項
HA TOSCA
①1 角の大小にもち込む
12 2辺の和>他の1辺
P
A'
OCASE
2 (AD+BE+CF) <2(AB+BC+CA)
AD+BE + CF <AB+BC+CA
A
B
B
C
DAS
00000
D
D
A'
1855
中線は2倍にのばす
C
平行四辺形の対辺の長さは
等しい。
PORTCOU
<OS DACEA)
不等式の性質
a<d, b<e, c<f
DAL a+b+c<d+e+f
三角形の2辺の長さの和は
他の1辺の長さより大きい
定理)
STARTS AN 212863873
(1) AB=2,BC=x, AC =4-x であるような △ABCがある。 このとき､xの
ERA
の範囲を求めよ。
(2) △ABCの内部の1点をPとするとき、次の不等
[岐阜聖徳学園大 ]
証明せより
基
(1
(2
指針
!
[C
解
(1)
て
2
(1
よ
と
F
VE
(1
d
検
上
B
練
