141 三角形の重心の位置ベクトル
△PQR がある. 3点P,Q,R の点Oに関する位置ベクトルを
それぞれ,D,I, とする. 辺 PQ, QR, RP をそれぞれ, 3:2,
3:44:1 に内分する点を A, B, C とするとき,
(1) OA, OB, OC を D, Q, で表せ.
(2)
△ABC の重心Gの位置ベクトルをp, q, で表せ.
(2)OG=/(OA+OB+OC)
1/2(2+3+4+3+4+2)
2
5
7
5
22-
105
41
+ g+ r
105
ポイント
△ABCの重心をGとすると
OA+OB+C
精講
(重心の位置ベクトル)
△ABCの重心の定義は3中線の交点(数学Ⅰ・A78) ですが,
そのことから,次のような性質が導かれることを学んでいます.
△ABCにおいて, 辺BCの中点をMとすると
重心Gは線分AM を 2:1 に内分する点
そこで,139 の「分点の位置ベクトル」の考え方を利用す
ると,次のような公式が導けます.
B
M
C
AG=AM=13/12 (AB+AC)=1/2(AB+AC)
ここで,AB=OB-OA, AC=OC-OA, AG=OG-OA だから
OG-OA=1/2(OB+OC-20A)
3
:.OG=/(OA+OB+OC)
OG=
3
すなわち, A(a),B(b), C
a+b+c
3
注 1.140 * II をみると, 始点が口で表示し
重心の位置ベクトルも始点が0でなく、口であ
□G=/(□A+B+C)と表現されます.
注 2. A(a) とは 「点Aの位置ベクトルを
現を使うと,式表示の中に始点が現れてきませ
点はどこかに決めてあればどこでもよいので,
解 答
(1) PA:AQ=3:2 だから
OA=20P+30Q_2万+3
5
QB:BR=3:4 だから
5
OB= 40Q+3OR_4g+3r
7
RC:CP=4:1 だから
139 「分点の位置ベクトル」
7
A
G
Oc=
OR+40P
4p+r
5
5
C
B
R
演習問題 141
正三角形ABC がある. 辺 AC に
DA=AC,∠DAC=90° となるよう
の外心を O, ADACの重心をEとす
で表せ.
