三角関数です (2)について、3＜k＜7/2のとき共有点は2つなのにどうしてf(θ)＝kを満たすθは3個になるんですか？

子 実戦問題 14 三角関数を含む方程式の解の個数 60 90 オ 関数 f(0) = cos20+2sin0 +20≦a≦ について考える。 (1)t = sind とおいてf(0) の式で表すと,f(0) = アイピ+ ウ++ また, tの値のとり得る範囲は カ であるから,f(0) は 5 π エとなる。 ts 。。 0 キ または ケ のとき最大値 F+Onia)=2(1) 1200 コ D 0 = または のとき最小値ス をとる。 3 0200 +0nia = 1 サ の解答群 π π 0 ① ② πT ③ 2 6 4 ④ (5) 2 2 3 TT ⑥ π π 6 4 (2)の範囲において, t = sin を満たす0は ≦t< お面(C) または t = のとき1個, チ ≦t<チ のとき2個存在する 夕 5 したがって, 00Sの範囲において, 0の方程式 f(0) = k を満たす 0 は 6 テ テ ツ くんく のとき ナ 個,k=ツ 'またはk = のとき個存在 8(1 テ k または くんのときは存在しない。 S(0)のグラフ

組(a1 a2 a3)と組み合わせ(a1 a2 a3)は一対一対応 の一対一対応とはどのような意味ですか？ 詳しく教えてくださいお願いします。

ステージ2 典型手法編 場合の数 前 ITEM で見たように,順列の方が順序を のがふつうです.しかし、条件として順序が指定されている場合には, きます. ここが ツボ! 順序が指定されているなら、「順列」の代わりに「組合せ」を参」 例題20A サイコロを3回投げるとき, 出た目を順に a1,a2,a3 と する. a <az<α3 を満たす組 (a1,a2, α3) の個数を求めよ. 着眼1 第何回の目であるかに応じて au, 42, 43 と名前が付けられていますから、 ○○を区別 ? ろん出た目の順番を区別して考えます. 「組」とは順序を考えたものですから、たとえば (2,3,5)(2,5,3) を異なるものとして数えるべきなのですが,本間では a1,a2, α3 の大小関係が指定 れているため,(2,5,3) などはカウントしません。つまり どの3種類の目が出るか が決まれば,組(a1,a2, α3) も自動的に決まってしまうのです. [解答 a <az<αのとき 6C3= 順列 よって求める場合の数は、サイコロの目 : 1,2,3,4,56から異なる3個の目を選ぶ 組合せを考えて α3)」と「組合せ {a1,a2,a3}｣は1対1対応. 「組(a1,a2, 6･5・4=20(通り). 3.2 事情が変わ 解説本来「組合せ {a1,a2,a3) (a1,a2,a3 は全て相異なる)｣1つから作られる 「組 (a1,a2, as)」の個数は,3!=6通り)です。つまり「組合せ」と「組」の対応関係は 1:6 ですね.しかし本問では大小関係 「a <az<as」により1:1の対応となります. 組合せ 順序指定なら 1対1 順列 12, 43} は同じものを含む ことが許されるため, やや難しくなり,重複組合せ( ITEM24, ITEM39) を考える ことになります. 参考1 本間の条件が a≦a≦as となった場合, 組合せ {a1,a2, internet の8文字を並べるとき, 3つの母音iee が 例題20B この順に並ぶものは何通りか? 着眼2] 前問において「大小関係α <az<a」が決まって やって みよう1

(2)はなぜ合成関数を変形したのですか？ またなぜy≠1なのですか？

難易度 CHECK 1 CHECK 「元気力アップ問題 69 2つの関数y=f(x)=x1(x-1) と y=g(x)=2x-1がある。 (1) 合成関数 go f(x) (x-1) を求めよ。 (2) h(x)=go f(x)(x-1) とおくとき 逆関数 y=h" '(x) を求めよ。 ヒント! (1) gof(x)= 1対1対応の関数なので, y=h'(x) を求めよう。 解答&解説 (1) f(x)=x−1 数 go f(x) を求めると, gof(x)=g(f(x))=2.f(x) -1=2x+1- 1 (x-1)…(答) X=- x1(x-1), g(x)=2x-1より,合成関合成関数 = _2(x-1)-(x+1)_x-3 x+1 (2)y=h(x)は, g(f(x))=g(x-1)となるんだね。 4 y+1 h(x) と定義域, 値域のxとyを入れ替えて, y= (2)y=h(x)=gof(x)= x = = - x 41 +1 ① x+1 (x-1, y1) のグラフから,y=h(x) は1対1 対応の関数である。 よって, y=h(x) の逆関数y= h'(x) を求めると, x-1= == ...... = x+1 x- +1 4 y+1= y+1 よって、求める逆関数y=h'(x) は, ･･･ ①' (x *1, yキ-1) 4 x-1 xとyを 入れ替えた!」 y=h^¹(x) = 41-1 -1 (x=1, y≠-1) である。 ･ ( ココがポイント CHECK 3 ・f°g(x)=f(g(x)) gof(x) = g(f(x)) x+1 y=h(x)=x+1-4 x=-1 30 4=1 X₁-10 3 -3 0 x=1 y=1 数列の極限 24 x+1 x -y=h^²(x) 4 数の植

類題20の[2]です。偶数は選んで小さい順に並べる、というのはわかりましたが、奇数の並べ方はなぜ5P3ではだめなのですか?選んで並べる、という手順で同じだと思うのですが…5C2+5P2=600通りではないのですか？

の目を られる 応関係 ■のを含 ■を考え ｢3つの モレなく1つずつ対応し合うとさ, フェリロ の要素が右のように1個ずつ線で結ばれるとき 集合Aと集合Bは1対1対応である といい,このとき, 集合Aの要素の個数と集合Bの要素の個数nとは当然一致し ます. すなわち n (A)=n (B)が成り立ちます. このように, 「1対1対応｣ とは集合どうしの関係として定められた用語です.ただ, 場合の数・確率の解答においていちいち集合を厳格に言い表すと長々しい文章になっ てしますから,今回の解答でも, ① のように 「集合」 という言葉を伏せて書きました. 参考3 「1対1対応」 を用いる有名な題材を, ITEM 23~ITEM 25 で扱います。 類題 20 [1] サイコロを4回投げるとき, 出た目を順にa, a2, 3, as とする. a <az <as <a を満たす組 (al, a2, α3, α4) の個数を求めよ. ② 1.2.3... 10の10枚のカードから偶数2枚と奇数3枚を選び、これら5枚を1列 [2] 1,2,3, に並べる. このとき, 2つの偶数が小さい方から順に並んでいるものは何通りあるか. (解答解答編 p. 6 ) 67: 素数

①でy=sinhxと置いてて 下から3行目でy=logの式がsinhxの逆関数と書いてるんですがそれだと①とよりsinhx=log(x+√x^2+1)となりませんか？

複 (文 線 力 解析 量子 演習問題 5 双曲線関数 sinhxの逆関数 sinh-x は, sinh-'x=log(x+√x2+1) と表されることを示せ。 ヒント! 1対1対応の関数y=sinhxのxとyを入れ替えて, x = s これを,y=(xの式) の形に変形すると, この(xの式)が,逆関数 sine になる。 (y=sinhx と y=sinh-x は, 直線y=x に対称なグラフになる。) 解答&解説 y=sinhx= ①は1対1対応の関数より, xとyを入れ替えて x= 44 et- ...... ① とおく。 2 両辺にYをかけて 2xY=Y2-1 Y=x±√x2+1 2 ここで, e'=Y とおくと, Y > 0 2x=Y - 1/ 2x=e Y Y = 双曲線関数の逆関数 4/4 YẾN 【これをYの2次方程式と見る! a 1. Y² - 2xY sinh 2b IL -b'vb-ac a ここで,Y>0より, Y=x+vx2+1 よって,e=x+√x2+1 両辺は正より,この両辺の自然対数をとって, loge=log(x+√x²+1) 1)=0 ‥.y=log(x+√x²+1) 以上より,求める sinhx の逆関数 sinh x は, sinh'x=log(x+v +1 ......... yi 10 O y = sinhx X1 Y=e" x yy=sinhx 0 y=x y=sinh X ヒント!】 これを変 解答& y=tanh とおく。 ① xとyを x=(イ) x= e²y_ e²+1 (1-x) e² (1より小 この両辺は loge2=10 2y = -1/2310 log 以上より, tanh-x= 解答(ｱ

紫で丸してある方の問題が、なんでこんな考え方をするのか分かりません。教えてください🙇‍♀️

x+y+z=14を満たす目然数x,y,zの組の 個数は 通りある. また, x+y+z=14を満 たす負でない整数x, y, zの組の個数は | ■ 通 りある. (02 金沢学院大/改題) 1234 19 999 9999999 AAAAAAAA 23 13 | 2 | 3 1をどこに入れるか。 自然数x,y,zの組の個数は上記の2つのを入れる場所 を選ぶ方法の個数と等しいので 13C2=183:12=78(通り) # 1234 90000000000000 負でない整数a,y,zの組の個数は ○14個と12本の並べ方の個数と 等しいので 16.15 120(通り) 2 161 14!2! #

1400のうち偶然はと言う問題について質問です！ 解き方がわからないので途中式含めて詳しく説明お願いします！

って。 100の正の約数の個数と、 正の約数の和を求めよ。また、1400 の正の期数のうち限数は何僚あ 4積の法則 るか。

下の赤線になる理由が分かりません 1対1対応の問題です

11 面積-3次関数どうし一 11)く 12) kを定数とし,f(z)=z°+z°-4kz+6k?, g(z)=2°+2z-3k とおく、2つの曲線y=f(z)とy=g(z)が相異なる2点で交わっているとき,これらの曲線で囲 まれた部分の面積をS(k)とする。 (1)2つの曲線y=f(x)とy=g(z)が相異なる2点で交わるためのkの条件を求めよ. (2) S(k)を求めよ。 (3) S(k)が最大となるkの値を求めよ。 い (阪府大·経) 3次関数どうしで差が2次式の場合 境界が3次関数であっても, 差(被積分関数)が2次になると, 公式(ェーa)(zー8)dz=--(B-a)° 1 ……★ が使えることがある.2曲線で囲まれた面積を求 6 める場合で,交点が2個だけのときはこの形にならないかをまず考えよう。 ■解答 解 (1)f(z)-g(z)=z?-2(2k+1)ェ+6k?+3k y=f(x)とy=g(z)の交点のェ座標は①=0 の解だから, ①=0が異なる2 実解をもつための条件, すなわち判別式を考えて, 番 外の髪 (2k+1)?-(6k?+3k)>0 (2k+1)?-3k(2k+1)>0 合DI4>0 Ka くん<1 2 (2) kは(1)で求めた範囲にあるとし,このときの D=0 の2解を a, B(a<B)とする。α<z<Bのとき ①<0であるから,この範囲でg(ェ)>f(x)であり, 図1 9=g(x) S(k)=g(z)-f(z)} da=["(-0)da o --(ェ-a)(ェーB) dz=-(B-a)®………® リ=f(x) B 合公式★を用いた. D=0 を解くと 合求めるものは図1の網目部の面 積だが,これは図2の網目部の面 積と等しい、 図2 =2k+1±V(2k+1)?-(6k?+3k) =2k+1±/(2k+1)(1-k) て =2k+1±/-2k?+k+1 となるので,B-a=2/-2k?+k+1 であり, このとき の-(-24+k+1) リ=f(x)-g(x) 3 (2) 3 (3) -2k?+k+1が最大となるんを求めればよい。 12 日=26?+k+1=-2(k- 4 9 より,k= 8 1 合ー小 4 -<ん<1を満たす。 ○11 演習題(解答は p.158) 2 る W

問２が分かりません。教えてください

[V] 0Sx< 2π とする。 関数 f(x) = 2 cos 2.x-4 sin r について, 次の各問いに答えよ。 問1 f(x) = asin? x+bsinr+c と表すことができるが, |a+b+c|の値は また,f(z)は ェ=a, Bのとき最大値 Mをとるが, α+Bの値は ] である。 |πであり,Mの値は ア イ ウ である。 問2 の方程式 f(z) = k が異なる3つの実数解をもつときのkの値は である。 エ

至急！ この問題でなぜ黄色いマーカーの部分になるのか分かりません

小りる2, 0の他は, * ー TY 9 11 または a=-3-/17, 6=22+6/17 4 『ミ 6= 8' 09 演習題 (解答は p.58) とf(z)=a(14.z+5)?+2ab(2-4.x+5)+1 (α>0, b>0) は最小値7をもち f(-1)=241 であるという. このとき a= , b= , f( )=7である。 さらに, 1Sxえ (k>3) においてf(z)が最大となるのはエ=D 1Sェハ& (1<k<3) においてf(x)が最大となるのはェ= ]のときである. ]のときであり, 後半は (産業能率大,改題) のグラ 42