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重要 例題 38 文字係数の1次不等式
(1)不等式α(x+1)x+αを解け。ただし, a
は定数とする。
0000
[(2) 類 駒澤大 ] 基本 34
(2) 不等式 ax<4-2x < 2x の解が1 <x<4であるとき, 定数αの値を求めよ。
不
A=0のときは,両辺を4で割ることができない。
一般に、「0 で割る」
指針 文字を含む1次不等式 (Ax> B, Ax <B など) を解くときは,次のことに注意。
・A<0 のときは、両辺を4で割ると不等号の向きが変わる。 いうことは考えない。
(1) (a-1)xa(a-1) と変形し, a-1>0, a1=0, α-1 <0の各場合に分けて解く
(2)ax<4-2x<2xは連立不等式・
ax <4-2x
4-2x<2x
A
と同じ意味。
まず,Bを解く。 その解と A の解の共通範囲が1<x<4となることが条件。
CHART 文字係数の不等式 割る数の符号に注意 0で割るのはダメ!
(a-1)x>a(a-1)
(1) 与式から
①
解答|
[1] α-1>0 すなわちα>1のとき
x>a
①は
0x>0
.0
[2] α-1=0 すなわち α=1のとき
これを満たすxの値はない。来
[3] a-1 <0 すなわち α <1のとき
α>1のとき x>a,
a=1のとき 解はない,
x<a
よって
α<1のとき
-4x < -4
x<a
まず, Ax > B の形に。
①の両辺をa-1 (> 0)
で割る。不等号の向きは
変わらない。
<0>0は成り立たない。
負の数で割ると、不等号
の向きが変わる。
検討
(2) 4-2x<2x から
よって
x>1
A=0のときの不等式
Ax>Bの解
ゆえに、解が1< x < 4 となるための条件は,
......
① の解が x < 4 となることである。
=0のとき, 不等式は
0.x>B
ax <4-2x
①から
(a+2)x <4
②
よって
意
[1] a+2>0 すなわちα >
2 のとき,②から
B≧0 なら 解はない
x<
よって
a+2
4
a+2
B<0 なら 解はすべての
-=4
実数
ゆえに
4=4(a+2)
よって
a=-1
両辺にα+2 (≠0) を掛
これはα>-2を満たす。
(マ)
けて解く。
[2] a+2=0 すなわちα=-2のとき②は 0x<4
S
x>>
4
a+2
よって,解はすべての実数となり、条件は満たされな 04は常に成り立つか
い。
[3] a+2<0 すなわちα<-2 のとき,②から
ら,解はすべての実数。
S
[1]~[3] から
このとき条件は満たされない。
x<4と不等号の向きが
違う。
a=-1
