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例題 72
微分係数の利用 (1)
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微分係数を利用して,次の極限値を求めよ.
199
解答 (1) lim
ex-1
(1) lim
110 x
を用いてよ
sinx-sina
(2) lim
(aは0でない定数)
x³-a³
11a
log(x+1)
(3) lim
x 0
tanx
考え方 関数f(x)のx=q における微分係数f(a)は,
f'(a)=lim
f(ath)-f(a)
914
または,f(a)=limf(x)-f(a)
x-a
xa
である.この定義をどのように活用するか考える.
(1) lim e-1は、②において、a=0 の場合と考えられるが,
x
exの2xに着目すると, 分母のxが2x であれば,
合
e2x-1
x 0 x
lim2.
e2x-eº
x0 2x
(2) lim
xa
=lim
x a
=lim
x → a
-=2・1=2
sinx-sina
x³-a³
sinx-sina
(xa)(x²+ax+α²)
x2+ax+a2
1
Ea²+a+a
sin x-sin a
x-a
cosa
cos a
3a²
A-m
log(x+1)
(3) lim
110 tanx
414
=lim
10
110
log(x+1)-log(0+1)
x-0
tan x-tan0
x-0
e2-1
e2-e°
lim
=lim
-=1
x 0 2x
018
2x
3
となりのx=0における微分係数として求めることができる.
Focus
(2) lim
sinx-sina -は,f(x)=sinx のxaにおける微分係数として考えることが
できれば,極限値を求めることができそうである。
分母に着目すると,
x-a=(x-a)(x+ax+a^)
と因数分解できる.
(3) 分子は, log(x+1), 分母は, tanx であるので,
このままでは(1),(2)のように考えることができない.
そこで、分母と分子を分けて、それぞれで考えてみる。
分子は, _log(x+1)-log ( 0+1)
lim-
110
x-0
とみることができる.log(0+1)=0)
練習
分母は,
lim-
110
tan x-tan0
x-0
とみることができる. (tan0 = 0 )
**
ここで, log(x+1) のときもtanxのときも, 分母がx-0であることに注目する.
②
f'(a)= limf(x)-
819
f'(a)=lim
fla+
X-
(2か所のは同じもので,ん
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微分係数を利用して、次の極限値を求めよ。
(1) lim
e-1
x → 0 sin x
π