微分係数が存在するかしないかって 右側極限の微分と左側極限の微分が合うか合わないかのみによるという理解でよいですか？

連続で [+] (②) 連続 T 分 ■数 60 関数の連続性と微分可能性 /関数f(x)=x^2/x-2|はx=2において連続であるか、 微分可能であるかを調べ p.106 基本事項 62 検討 [例題] f(x)がx=αで連続limf(x)=f(α) が成り立つ f(x) が x=αで微分可能微分係数 lima+h)-S(α) h オー lim f(x) X 2+0 これらの極限について調べる。 f(x)はx=2の前後で式が異なるから、例えば連続性については、右側極限 20, 左側極限x2-0 を考え,それらが一致するかどうかを調べる。 =limx2(x-2)=0 x-240 lim f(x) x-2-0 =lim{-x2(x-2)}=0 x2-0 また, f(2)=0 であるから lim f(x)=f(2) X-2 よって, f(x)はx=2で連続である。 次に = lim h+0 ƒ(2+h)-f(2) h lim h-0 f(2+h)-f(2) h =lim h→+0 h→+0 =lim(2+h)=4 ya lim h-0 (2+h)³h-0 h (2+h)²(−h)-0 h =lim{-(2+h)"}=-4 h-0 h→+0とん → 0 のときの極限値が異なるから, f' (2) は存在しない。 すなわち, f(x)はx=2で微分可能 ではない。 微分可能連続の利用 f(x)がx=αで微分可能x=α で連続 y=f(x) (2) f(x)= X 0 107 00000 F p.97 基本事項■ が成り立つ。 よって、上の例題のような問題では,微分可能性から 先に調べてもよい(「微分可能」がわかれば、極限を調べなくても 「連続である」という結論を出すことができる)。 また、⑩の対偶「f(x)がx=4で連続でない⇒xaで微分 「可能でない」 も成り立つ。 x 1+2 + が存在する。 4A= を用いて、絶対値をはず A (A20) -A (A<0) ◄f(2+h)-(2+h)²|h|| ん→ +0のとき >0 ん→-0のとき <0 に注意して、 絶対値をは ずす。 練習 次の関数は, x=0 において連続であるか, 微分可能であるかを調べよ。 260 (x=0) (1) f(x)=|x|sinx (x=0) 微分可能 [(1) 類 島根大〕 p.115 EX 48 3 章

関数の連続性の問題です 写真の黄色の丸で囲った部分が何をしているのか分かりません 教えてくださいm(_ _)m

次の関数 f(x) において, 定義されないxの値,不連続であるxの値をいえ。 また,それらのxの値で、関数の値を改めて定義し, すべての実数xで連続に なるようにせよ。 (1) f(x)= x2-2x-3 x-3 2 (2)) ƒ(x)= x |x| (3) f(x)=[Icosx |] (S)

パンケーキの定理について読んでも分からないので教えてほしいです！

参考 事項 パンケーキの定理 (中間値の定理の利用) パンケーキが2枚ある。 1回のナイフカットでパンケーキを2枚とも同時に2等分すること は可能だろうか? 実は常に可能である。このことを数学的に表したのが、次のパンケーキの定理である。 パンケーキの定理 2つの図形 A,B に対して,各図形の面積を同時に2等分するような直線が存在する。 この定理は,中間値の定理を利用して,次のように証明することができる。 図1 証明 図形 A,Bの両方が内部にあるような円をとり,これを 単位円と考える(図1)。 図形 A について,直線x=α の左 側の部分の面積をf(a), 右側の部分の面積をg(α) とし, h(a)=f(a)-g(a) とすると, 関数h (α) は-1≦a≦1にお いて連続と考えられん (-1)=-g(-1) <0, h(1)=f(1) > 0 よって, 中間値の定理により, h (α(0)) = 0 を満たす α=α(0), -1<α(0) <1が存在する。 このとき,直線x=α(0) によっ て,図形Aの面積が2等分されている。 同様に,図形Bの面積を2等分する直線x=6 (0) が存在す る。 次に, 図形 A,Bを原点を中心としてだけ回転する(図 2)。 このときも, 図形Aの面積を2等分する直線x=α (0), 図形Bを2等分する直線x=b(0) が存在し, 00 の範囲で動かすとき, 関数 α (0), 6(0) は 0≦≦において それぞれ連続と考えられる。 ゆえに, c(0)=α (8) -6(6) とすると,関数 (0) は 0≦において連続で, a(z)=-α(0), b(z)=-(0) で あるから c(0)c(x)={a(0)—b(0)}{a(π)—b(π)}=-{a(0)—b(0)}² α(0)=b(0) のときは,定理が成り立つことは明らかであり, c(0)c(π) <0 α(0) ¥6(0) のときは よって, 中間値の定理により, c01) = 0 を満たす 01 ( 0 01 <x) が存在する。 このとき, 図3のように直線 x=α(01) と直線x=6 (61) は一致し, この直線が図形 A, B の面積を同時に2等分する。 以上により定理は証明された。 また、次のこと(ハム・サンドイッチの定理)が成り立つこと も知られている。 これは, パンケーキの定理の空間版にあたる。 ハム1枚とそれをはさむ2枚のパンでできたサンドイッチに ついて、ハム, パン2枚それぞれの体積を同時に2等分するよ うに、必ずナイフカットすることができる。 x=b(0) 図2 B 図3 x=b(0) 11 B of(a) 1 A Ay 0 x=a(0) 239 √₁x g(a) XT x=a(0) A x y4|x=a(0₂₁) [x=b(0₂₁)] x 0=0₁ 4章 17 関数の連続性

証明の最後の方にある、「一般に、」からが理解できません。詳しく教えていただきたいです。

例2 z=g(y)=siny, y=f(x)=x2 ならば, fg の合成関数は z = sinx. 合成関数の連続性 定理1.2.3 y=f(x)がx=αで連続で, z=g(y) がy=f(a) で連続ならば,合成関 数z=g(f(x)) は x =αで連続である. 証明 y=f(x) は x =αで連続であるから lim f(x)=f(a) x→a である.また z=g(y)はy=f(a) で連続であるから lim_g(y)=g(f(a)) y-f(a) である.一般に,この極限はy ≠ f (a) なる条件の下でyをf(a)に近づけるの であるが, g(y)がy=f(a)で連続であり,yがf(a) に近づくのに y=f(a)を みたしていても成り立っているので limg (f(x))=g(f(a)).

数学の質問です。どのような解答を書けば良いのでしょうか？

3 次の関数のæ=0での連続性を調べよ。 (結論としては,連続か不連続かという答えになるわけですが, 不連続な場合,連続性の定義の式と照らし合わせて、どのように不連続なのかを丁寧に述べなさい.) sin x SINX sin x (x = 0) (1) f(x) = (2) f(x) = IC IC 継続 (x=0) +0 連系 selon |x| 3) f(x) = |x| (4) f(x)= X

なぜ、この方法でこの問題が解けるのですか？ あと、場合分けは1でしないといけないのですか？ もし1でしないといけないなら、その理由も教えて欲しいです！

1-2- 12 「例題 関数の連続性 のグラフをかき, f(x) が不連続となるxの値を 1+x+x?n+1 18関数 f(x) = lim 求めよ。 1+ x? n→ 0 (i) |x|<1のとき limx" = xn+1 =1 より 0, limx?n+1 =0 より 2→0 1+1+1 3 1→ C f(x) = 1+x+0 1+1 2 f(x) = =1+x 1+0 (iv) x = -1 のとき (i) |x|>1のとき x=(-1) =1, x"m+1 = (-1)m+1 =-1 より <1より lim{- = 0 x 2→0 1+1 よって したがって、 2n 2n-1 1 3 +x y= f(x)のグラフ 2 x x f(x) = lim は右の図のようにな 2n 81N +1 る。 x 01 x また,f(x) が不連続 0+0+x となるxの値は =x 0+1 x= ±1 ( x=1 のとき

なぜ、この方法でこの問題が解けるのですか？ あと、場合分けは1でしないといけないのですか？ もし1でしないといけないなら、その理由も教えて欲しいです！

例題 1+x+x .2n+1 18関数 f(x) = lim 求めよ。 関数の連続性 のグラフをかき, f(x) が不連続となるxの値を 1+x?n n→0 解(i) |x|<1のとき limx = 0, lim x?n+1 x2n = x2n+1 =1より .2n =0 より 1+1+1 n→ 0 n→0 3 f(x) = ニ 1+x+0 1+1 2 f(x) = =1+x ニ ニ (iv) x = -1 のとき x2=(-1)2 =1, x"n+1 = (-1)"+1 _ _1 1+0 (i) |x|>1 のとき 1 より 1 <1より n lim 3 - ニ ニ x 1 n→0 x f(x) = ニ 1+1 2 よって したがって, 2n 2n-1 3 y= f(x) のグラフ 2 は右の図のようにな +x 2 x x f(x) = lim 2n n→0 +1 る。 x また, f(x) が不連続 となるxの値は 101 1 2 0+0+x ニ = X 0+1 x= ±1 () x =1 のとき

なぜ｢(1)(2)より、関数f(x)はx=1以外では連続である｣と言えるのでしょうか？

関数x)=[x"]がオ3D0で連続か不連続かを調べよ。 AL。 また,x=1で連続か不連続かを調べよ。 228→ 224 [連続関数]次の関数の定義域をいえ。また. 定義城で連続かどうかを調 べよ。 (1) f(x)=xlogax" (2) f(x)= x-1 229→ x-1 [関数の連続性3] nが自然数のとき, 次の式で定められる関数八)か x20であるすべてのrで連結レたフ 225

数学III関数の連続性です。 この問題では右、左側極限の一致を調べないのはなぜですか？

ゆえに,関数f(x) は x=1 で微分可能 Te+IV よって,f(x) は x=0 で微分可能である。 よって カ→0 ゆ 存 x 281 (1) 0< sin- し 0s|x'sin s? X 282 alゴ-0であるから sin|-0 0-14 limx'sin x→0 オー0 -20-10 1 limx'sin- ズ→0 0= 0) 三 -2h すなわち x よって, limf(x)=0=f(0) となるから, f(x) Lo0 x→0 je+H はx=0 で連続である。 f(0+h)-f(0) h f(h) = lim また lim h→0 h→0 h のときト h'sin- 1 1 : lim hsin h h =lim ニ h→0 h h→0 0S| sin- <1であるから h 1 G8ntal 0< hsin- |<IA| h lim||=0 であるから h→0 80) 1 =0 h lim hsin h→0 (10) 1 =0 lim hsin h すなわち 2 h→0 したがって f(0+h)-f(0) lim h 0= h→0

極限の関数の連続性の問題です。437の(2)です。解答の緑色で引いた箇所の解説をお願いします。なぜこのような結論に帰着するのでしょうか？

B- 437 次の関数の定義域をいえ。また, 定義域における連続,不連続 を調べよ。 f(x)=/2x°+x-1 (2) f(x)=x[x]