テーマ
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整数②
例題2
★☆☆ 20分
方程式
x+2y? +2z2xy-2.xz+2yz-5 = 0
をみたす正の整数の組 (x, y, z) をすべて求めよ。
(京大理系 01後)
理解) 文字が多いので、適当に式をイジって、 迷子になってしまう
人がいる問題ですが,どうですか? 式を変形するとき, 有名
な式変形のパターンなどの何らかの特徴があれば別ですが、基本は
1文字に着目して整理する
です。 今回は
yと2は入れ替えても元の
3文字がありますが,
式と同じ形に戻ります。 すなわち対称性があります。
対称性は,キープorくずす
の2つの方針があります。 では、 まずy,zの対称性をキープして, xの
式と見て整理してみましょう。
-2(y+z)x+2y2+2yz + 222 - 5 = 0
左辺は次式です。
2次式の変形は,因数分解 or 平方完成
が基本での因数分解はできそうにないので,平方完成してみます。
(1+2)-(1土+2y2+2yz+2z-5 = 0
計画
(x-y_z)+y2+2=5
よい形が出てきました。 (実数)2≧0であり, y, zは正の整数
だから,
(x-y-z)2≧0,y2 ≧ 1,221
などの不等式が利用できそうです。 どれでもよいですが、
(x-y-2)²≥0
を利用すると が消えるのでベターでしょうか。