⑶の問題で、解答の黒線の部分なんですけど、三分のニをニ乗していくと小さくなると思うんですけど、なぜ小なりイコールなんですか？？

例題 17 漸化式と極限 (3) a=1, an+1=√2+3 (n=1,2,3, ......) で定義される数列{am} について,次の問いに答えよ. (1)数列{an} が極限値αをもつとき,α の値を求めよ. (2)(1) αについて, anti-alla-al を示せ. (3) lima=α であることを示せ **** 「考え方」 (1) lima=α のとき, liman+1=αであるから, →:00 YA y=x これを与えられた漸化式に代入して考える。 y=√2x+3 求めたαが条件に合うか確認が必要.. (2)(1) で求めた α を代入し, 漸化式を用いて不等式の 左辺を変形する. a2a3 (3) 実際に lima を求める. はさみうちの原理を利用する. a=1 00+11 解答 (1) lima=α とすると, liman=liman+1=α なので, 無理方程式 8118 漸化式 an+1=√2+3 より α=√2α+3 ... ① 両辺を2乗して, α = 2a +3 より, α=-1 は ①を満たさないから. a=3 (2)|a,+1-3|=|√2a,+3-3|=| 2a,+3)-9 α=-1,3 √2an+3 +3 1 == -|2a-6| √2an+3+3 √2an+3+3 よって, a,+1-3|22|47-31は成り立つ。 == la-3≤an-3 (3)(2)より14,-31010,13| 2\n-1 2\2 n-2 3 ここで,4=1より、0a,-3=2....... \n-1 2\n-1 (p.98 参照) a²-2a-3=0 (a+1) (α-3)=0 α=-1, 3 が①を満 たすか確認する. 分子の有理化 √2+3≧0 より √2a+3+3≥3 √2a, +3+3 3 (2)をくり返し用いる. |-3|=|1-3| |=|-2|=2 Focus ② lim2(12/3) 0 とはさみうちの原理より、 →∞ lim|a-3|=0 11-0 よって, lima=3 となり、題意は成り立つ. liman=a= liman+= a 8-8

1枚目の「ルートの中身は0以上」という話と 2枚目の文字式の根号を外すときは絶対値をつけるっていう話 なんで根号の扱い方が違うんですか？

3 ルートがらみの方程式・不等式を解く (ア) √2-x2=1-2x を満たす実数xの値は (イ) 5-xx +1 を解け. 不等式√3-2 ≧2x-1 を解け. である. (京都産大・理系) (龍谷大・理系(推薦)) ( 東京都市大) 図形問題を解くときにも現れる ルートがらみの方程式・不等式のことを, 無理方程式・無理不等 式と言う. 教科書的には数Ⅲの内容だが,図形問題を解くときにも (解法によっては) 現れることがあ るので,ここで練習しておくことにしよう。 解くときの注意点 2乗してルートを解消するが, その際に注意が必要である. 2乗すると同値性がくずれる.例えば, A=B ⇒ A2=B2 であるが, A2=B2 A = Bである (例えば, A=-2, B=2のとき, A'=B2 だが, A=Bではない). また, A≧B A2≧B2 であ る(例えば,A=1, B=-2 のときを考えよ). 「A≧BA'≧B2」という同値変形ができるの は,A≧0 かつ B≧0のときである. 両辺が0以上なら, 2乗しても同値である. y=x · ルートの中は0以上であり、 実際にどのようにするかは,以下の解答で. の値は0以上である(ア) (27=1-27 and 22-20~ ? and 1-2x20 解答量 0

⑶で右側に小さく書いてある⑵に繰り返し用いるとはどういうことですか？ あと最後のlim|an-3|=0でどうしてliman=3になるんですか？

2 例題17 漸化式と極限 (3) ( a=1, an+1=√2a+3 (n=1,2, 3,) ......) で定義される数列{an} について,次の問いに答えよ. (1) 数列{an}が極限値 αをもつとき,α の値を求めよ. (2)(1)のαについて, la,-allan-α を示せ .na (3) lima=α であることを示せ . [考え方] TAN 解答 11-0 P (1) lima=α のとき, liman+1=α であるから, 1140 1148 これを与えられた漸化式に代入して考える. 求めた αが条件に合うか確認が必要 (2) (1)で求めたα を代入し,漸化式を用いて不等式の 左辺を変形する. LAM (3) 実際に lima" を求める. はさみうちの原理を利用する。 21-0 赤客室 ぜったい④ (1) lima=α とすると 漸化式 an+1=√2a+3より 両辺を2乗して, 03/ **$²9 +1 はさみうち使う時 左辺が正って = An 16 S α=-1 は ①を満たさないから, (2), lax+1-31 = √/2a₂+3 -31-01-20 +3-=-3 M/(2a+3)-91 1 √2an+3 +3 ②. lim2(12/3) 12・ n1 → ∞ liman=liman+1=α なので、 1200 12 534 a = √2a+3 ① 11 → 00 α²=2a+3 より, lim|a-3|=0 √2an a=3 -12an -61 ...... a=-1, 2 √2an+3+3 -lan-31≤an-31 3 ここなくす いいたいために 絶対値記よって、lamm-31 / 3 14.31 は成り立つ。 F.DE (3) (2)より10-31≦0/2/31lan-1-31 × ここで、a=1 より 0a-312 (23) 2 An-1 2\n-1 n-1 (²) Ian-2-31 ≤...(3) |a₁-31 ai Coll= = 0 とはさみうちの原理より, **** YA y=x/ J O a2a3 i=1 もどき 120m+3+3 120+3分子の有理化 11 →∞ よって, lima =3 となり、題意は成り立つ 22100 $=0 お二期間 y=√2x+3 無理方程式 (p.98参照) x a²-2a-3=0 (a+1)(α-3)=0 α=-1, 3 が ① を満 たすか確認する. 第1章 特性方程式 みたいにauthous をdとかおいて、 √2a+3≧0より, √2an+3+3≥3 √2an+3+3 101. 1 3 1200) (2)をくり返し用いる. |a-3|=|1-3| =|-2|=2

2番でまた，の後の0≦xが理解できないのでおしえてください

130 基本例題 81 無理方程式・不等式 (2) 080000 野式野県 次の方程式、不等式を解け。 (1) √10-x2=x+2 (2)) √x+2≤x CHART OLUTION 解答 (1) 方程式の両辺を2乗して 整理するとx2+2x-3=0 よって x=1, -3 グラフを書かないで pocot MOITUIO グラフを用いない無理方程式・不等式の解法 2乗して をはずす √A≧0, A≧0 に注意･･･ 方程式の場合 (1) A=B ⇒ A'=B'は成り立つが、逆は成り立たない。 √をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。 不等式の場合 (2),(3) A≧0,B≧0ならばA>B⇔A'> B2 が成り立つ。 両辺を2乗する前に条件を確認する。 必要に応じて場合分け。 ...... (3)√2x+6>x+1 10-x2=(x+2) ゆえに (x-1)(x+3)=0 与えられた方程式を満たさないから x=1 x≥-2 (2)x+2≧0であるから ① 7 また、x=√x+2≧0 から x≥0 ... (2) このとき, 不等式の両辺はともに0以上であるから、両辺を x+2≦x2 ゆえに (x+1)(x-2)≧0 ① 2乗して よって x≦-1,2≦x (3) 求める解は, ①, ②, ③ の共通範囲であるから x≧2 (3) 2x+6≧0であるから x≧-3 ① [1] x+1≧0 すなわち x≧-1 ② のとき 不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して 2x+6>(x+1)^ 整理すると x2<5 ...... -1≤x<√5 これを解いて-√5x<√5 ①,②, ③ の共通範囲を求めて [2] x +1 <0 すなわち x<1のとき √2x+6≧0,x+1<0 であるから,不等式は常に成り立つ。 このとき, ① との共通範囲は -3≦x<-1 (5) 求める解は (4) ⑤を合わせた範囲であるから (4) 1基本 80 12x2+4x-60 1 x=-3 を代入すると (左辺)=1,(右辺)=-11 -2-1 0 3+x\=4 -3-√5-1 2 ◆ [1] または [2] を満 x 12 x G 命題 る。 乗し 同

【√を含んだ方程式、不等式】に関する質問です。 問題の最初では前提として√の中が0以上であると書かれています。 そして(ア)の解説では【2x−x^2が0以上である】から【√の中が0以上である】ことが保証されると書いてあります。 2x−x^2は上に凸のグラフです。明らかに0... 続きを読む

(ア)√2x-x=1-2x を満たす実数xの値は [ (イ) √5-x<x+1を解け. (ウ) 不等式√x+1≧2x-1 を満たす』の範囲は 03 ルートがらみの方程式・不等式を解く一 .. ]である. ルートがらみの方程式・不等式のことを, 無理方程式 無理不等 図形問題を解くときにも現れる 式と言う。 教科書的には数Ⅲの内容だが, 図形問題を解くときにも (解法によっては) 現れることがあ るので,ここで練習しておくことにしよう. 解くときの注意点 2乗してルートを解消するが,その際に注意が必要である. である. ・2乗すると同値性がくずれる. 例えば, A=B⇒A'=B' であるが, A'=B' # A=Bである A'ZBであ A2≧B」という同値変形ができるの 解答量 (7) √2x-r² =1-2x ⇒1-2x²0 ƒ› 2x−x²=(1−2x)² ①を整理すると, 5x²-6x+1=0 :: (r−1)(5r-1)=0 -1<x≦5 かつ (x+4) (x-1) > 0 (ウ) √x+1≧2x-1 ① のとき, x+1≧0 1°②かつ 2ェー1<0, つまり -1≦x<1/12 のとき (例えば,A=-2,B=2のとき, A2=B2 だが,A = B ではない).また, A≧B る(例えば,A=1, B=-2のときを考えよ)『A≧B は,A≧0かつ B≧0のときである. 両辺が0以上なら, 2乗しても同値である. ・ルートの中は0以上であり, の値は0以上である。 実際にどのようにするかは,以下の解答で. 1-2≧0 を満たすxを求めて, x=- (1) √5-x<x+1 ⇒ 5¬x≥0h»x+1>0 A»5−x<(x+1)² ... -1<x≦5 かつ x2+3x-4>0 (京都産大・理系) (龍谷大・理系(推薦)) (東洋大) ∴.1<x≦5 x≧-1 は成り立つ。 5 よってStea であり.xml/1/2とから、1/12ss20 5 4 1°,2°により, 答えは、-1≦xs 20 5 2°②かつ2x-1≧0, つまりx≧ x≧1/2のとき,① の両辺を2乗しても同値で, x+1≧(2x-1)2 .. 4x²-5x≤0 : x(4x-5) ≤0 ← ① のとき,右辺≧0 により 2x-2≧0であるから, ルートの 中は0以上であることが保証さ れる. x+1>√5-x≧0 により, x+1>0. ←-1<x≦5のとき,x+4>0 ← ①の右辺の符号で場合分け. ② のとき, ①の右辺 < 0 なら ① は成 立。

どうして0≦と決められるのでしょうか？

漸化式と極限(3) α=1, an+1=√2an+3 (n=1, 2, 3, ......) で定義される数列について、次の問いに答えよ。 (1) 数列{an}が極限値αをもつとき, αの値を求めよ. Check 例題105 「解答 Focus (2) (1)のαについて, antials // lanal を示せ。 (3) limana であることを示せ。 818 考え方 (1) liman =α のとき, liman+1=α であるから, これを与えられた漸化式に代入して考える。 求めた αが条件に合うか確認が必要. (2) 有理化を利用して左辺を式変形する。 Lo (3) 実際に liman を求める. はさみうちの原理を利用する。 72-00 (1) liman=α とすると liman=liman+1=α なので、 8218 漸化式 an+1=√2+3より, a=√2a+3 両辺を2乗して, Q2=2a+3 より, α=-1 は ①を満たさないから, (2)|an+1-3|=|√2an+3-3|=| よって, 1 無限数列 1 √2an+3+3 2, lim 2. n100 n→∞ 2 √2an+3+3 ここで, α=1 より, 2n-1 3 lim|an-3|=0 (3) (2)より,|an-3|≦ 2/21an-1-312) =(-²) ²1a₁-2-3 |2an-6| -lan-3| ≤²/3an-31 2 |an+1-3|≦ // lan-3|は成り立つ。 α=3 ↑ (2an+3)-91 √2an+3+3 α=-1,3 n→∞ 2n-1 0≤lan-31≤2 (2¹¹ =0 とはさみうちの原理より, bast よって, liman=3 となり,題意は成り立つ. liman = α = liman+1=a 1218 YA *** 10 2n-1 | an-2-3| ≤... (²²¹a₁-31 習 α=1, an+1=√an+2 (n=1,2,3,……) 15 で定義される数列{a.) について, lim an を求めよ. 11100 ** y=x/ a₁=1 das 235 y=√2x+3 ²-2a-3=0 +(a+1)(a-3)=0 無理方程式 (p.283 参照) x 第3章 α= -1, 3 が ① を満 たすか確認する. (1)で求めたαを代入 し,漸化式を用いて 不等式の左辺を変形 する。 分子の有理化 √2+3≧0より、 √2an+3+3=3 11 1 √2an+3+3 3 (2) をくり返し用いる. |α-3|=|1-3| =|-2|=2

極限の無理方程式の範囲です。 自分は図解して考えてみた結果-√5<x<√5となりました -3を含む理由はなんなのでしょうか。 よろしくお願いします。

(3) (2x+6>x+1

一次不等式の問題です。 ここで、最終的に34−2√(289−253)という式になる理由がわかりません。 きっと私の計算の仕方が間違っているのだと思うのですが、具体的な計算方法を教えていただけると嬉しいです🙇‍♀️

VE = V17+ V 253 V17- V253 無理方程式を解きなさい。 Ve = V17 + V253 V17 V253 2 V17 + V253 - V17 - V253 2ニ 2= 22 答 2= 22

数3です！無理方程式・不等式のグラフを用いるときと用いないときの違いはなんですか？

30 0OO000 基本例題 81 無理方程式·不等式 (2) 次の方程式,不等式を解け。 (1) V10-x=x+2 738 v2x+6>x+1 (2) Vx+2Sx 命題 基本0 る。 CHARTO グラフを用いない無理方程式· 不等式の解法 2乗して をはずす /A20, A20 に注意 方程式の場合(1) A=B→ A'=B° は成り立つが, 逆は成り立たない。 「をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。 不等式の場合(2), (3) AZ0, B20 ならば A>B→ A°>B° が成り立っ 両辺を2乗する前に条件を確認する。必要に応じて場合分け。 OLUTION ば 解答 (1) 方程式の両辺を2乗して 整理すると x?+2x-3=0 10-x=(x+2)? ゆえに(x-1)(x+3)30 - 2x+4x-6=0 よって x=1, -3 x=-3 は与えられた方程式を満たさないから (2) x+220 であるから また, x2Vx+220 から このとき,不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を 2乗して x=-3 を代入すると (左辺)=1, (右辺)=-1\ x=1 x2-2 の x20 x+2<x° ゆえに (x+1)(x-2)20 よって xS-1, 2<x 求める解は,O, ②, ③ の共通範囲であるから 2② x22 あケ精のて2 -1.0 2 (3) 2x+620 であるから [1] x+120 すなわち x>-1 不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して x2-3 ②のとき 囲 ③ 整理すると x<5 これを解いて 0, 2, ③ の共通範囲を求めて [2] x+1<0 すなわち x<-1 のとき V2.x+620, x+1<0 であるから, 不等式は常に成り立つ。 このとき, ① との共通範囲は 求める解は, ④, ⑤ を合わせた範囲であるから -3Sxく/5 -1Sx</5 -3-15- 4) 15* -3<x<-1 5 []または [2] を満たす 範囲。 乗ば

数3です！無理方程式・不等式のグラフを用いるときと用いないときの違いはなんですか？

30 0OO000 基本例題 81 無理方程式·不等式 (2) 次の方程式,不等式を解け。 (1) V10-x=x+2 738 v2x+6>x+1 (2) Vx+2Sx 命題 基本0 る。 CHARTO グラフを用いない無理方程式· 不等式の解法 2乗して をはずす /A20, A20 に注意 方程式の場合(1) A=B→ A'=B° は成り立つが, 逆は成り立たない。 「をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する。 不等式の場合(2), (3) AZ0, B20 ならば A>B→ A°>B° が成り立っ 両辺を2乗する前に条件を確認する。必要に応じて場合分け。 OLUTION ば 解答 (1) 方程式の両辺を2乗して 整理すると x?+2x-3=0 10-x=(x+2)? ゆえに(x-1)(x+3)30 - 2x+4x-6=0 よって x=1, -3 x=-3 は与えられた方程式を満たさないから (2) x+220 であるから また, x2Vx+220 から このとき,不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を 2乗して x=-3 を代入すると (左辺)=1, (右辺)=-1\ x=1 x2-2 の x20 x+2<x° ゆえに (x+1)(x-2)20 よって xS-1, 2<x 求める解は,O, ②, ③ の共通範囲であるから 2② x22 あケ精のて2 -1.0 2 (3) 2x+620 であるから [1] x+120 すなわち x>-1 不等式の両辺はともに0以上であるから, 両辺を2乗して x2-3 ②のとき 囲 ③ 整理すると x<5 これを解いて 0, 2, ③ の共通範囲を求めて [2] x+1<0 すなわち x<-1 のとき V2.x+620, x+1<0 であるから, 不等式は常に成り立つ。 このとき, ① との共通範囲は 求める解は, ④, ⑤ を合わせた範囲であるから -3Sxく/5 -1Sx</5 -3-15- 4) 15* -3<x<-1 5 []または [2] を満たす 範囲。 乗ば