(1) x+2y+12=0のとき, xyの最大値を求めよ。
(2) x20, y20, x+y=4のとき, xのとりうる値の範囲を求め
よ。また,x?+y?の最大値と最小値を求めよ。
■x, yのどちらかを消
して,1変数の場合に帰
させる。
(2) 変域に注意する。
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解答(1) x+2y+12=0から
x=-2y-12
xy=(-2y-12)y=-2(y°+6y)
=-2(y+3)?+18
ゆえに,xyは y=-3で最大値18をとる。
よって
← xを消去
のから, y=-3のとき
X=-2-(-3) -12=D-6
x=-6, y=-3 で最大値18
したがって
(2) x+y=4から
y20から
y=4-x
4-x20
よって
*S4
*20と合わせて
0<x<4
また
x?+y=x°+(4ーx)?=D2x-8x+16
←yを消去
=2(x-2)?+8
e-
よって, ② の範囲の xについて x?+y°は
*=0 または x=4で最大値16をとり, x=2で
最小値8をとる。
1x+y
2
16°
以
のから
x=0のとき y=4
8
x=4のとき y=0
x=2のとき y=2
ゆえに, *のとりうる値の範囲は0ハ ×ハ4であ
り,x+yはx=0, y=4 またはx=4, y=0
で最大値16 をとり, x=y=2で最小値8をとる。
O
2
4
x