重
定価
とき
146
基本例 85 2次関数の係数決定[最大値
DO
|(1) 関数y=-2x2+8x+k (1≦x≦4) の最大値が4であるように、定数の値
| (2) 関数y=x2-2ax+α2-2a (0≦x≦2) の最小値が11になるような正の定数
を定めよ。 また、このとき最小値を求めよ。
a の値を求めよ。
基本8082 重要 6
指針 関数を基本形y=a(x-b)'+αに直し, グラフをもとに最大値や最小値を求め、
(1)(最大値)=4(2) (最小値) =11 とおいた方程式を解く。
(2) では, 軸x=α (a>0) が区間 0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える。
CHART 2次関数の最大・最小 グラフの頂点と端をチェック
区間の中央の値はって
あるから,軸x=2は区
間1≦x≦4で中央より
左にある。
解答
(1) y=-2x2+8x+k を変形すると
y=-2(x-2)2+k+8
y
k+8---
最大
よって, 1≦x≦4においては,
右の図から, x=2で最大値+8
0 1 2
をとる。
ゆえに
k+8=4
最小
よって k=-4
んの方程式を解く。
このとき,x=4で最小値 -4 をとる。
最大値を4とおいて、
(2) y=x2-2ax+ α-2a を変形すると
y=(x-a)²-2a
[1] 0<a≦2 のとき,x=αで
最小値 2α をとる。
[1] y
軸
11
a
2a=11 とすると α=-
2
0
2
x
これは 0<a≦2を満たさない。
[2] 2<αのとき, x=2で
の
「αは正」に注意。
0 <a≦2 のとき,
軸 x=αは区間の内。
頂点 x=αで最小。
の確認を忘れずに。
-2a
最小
2<αのとき,
軸x=aは区間の右外。
→区間の右端 x=2で最
最小値 22-2a・2+α2-2a,
つまりα-6a+4 をとる。
α-6a+4=11 とすると
α²-6a-7=0
[2] YA
a2-6a+4!
最小
a
これを解くと a=-1,7
02
2 <αを満たすものは
a=7
以上から、求めるαの値は α=7 -2a
(a+1)(a-7)=0
の確認を忘れずに。
85
んの値を求めよ。
練習 (1) 2次関数y=x²-x+k+1の-1≦x≦1における最大値が6であるとき, 定数
