円環体の体積
[応用
例題
80<r<bのとき, 円x2+(y-b) = re をx軸のまわりに1回転
(*)
してできる回転体の体積を求めよ。
解 ¥y=b+√√r² - x²
をx軸のまわりに1回転してで
きる回転体の体積をV, とする。
また,半円 y=b-√r²-x
をx軸のまわりに1回転してで
2
きる回転体の体積をV とする。
このとき, 求める回転体の体積
Vは,V1からV2を引いたものである。
よって
V=V-V2
YA
y=b+√√r²-x²
5-1965.JP=2&
4лb
πb S² √r² - x² dx
-r
-r
b
y=b-√√r²_x²
[²_√r² − x² dx = ²/7 nr²
1
πr ²
O
右辺の定積分は半径rの半円の面積を表すから
r
= π
xf (b + √²-x²)dx=xf(b-√7²-x²)'dx
π
x
³2x=v
ゆえに
V = 4πb • ²/r² = 2π²br²
HVR
注意例題8の体積Vは、円の面積 m2 と円の中心 (0, b)がx軸のまわりに描
く円の周の長さ26の積に等しい。
5
15
20