例題
大小比較
17a>0,b>0,a+b=1のとき, 1, a2+62,3+6の大小を, 不等号を
用いて表せ。
解答
a+b=1 から
b=1-a
6> 0 から
1-α> 0
よって
a <1
これと α>0 から
last
いい
第1章 式と証明
+ (@² + b²)–(a³ + b³) a²+(1-a)² - a³-(1-a)³-a-a²=a(1−a)>0,
1-(a+b2)=1-α-(1-a)²=2a-2a²=2a(1-a)>0
a+b <a²+b21
よって
[参考]
全値を代入
大小比較の問題では,まず式に適当な値を代入して, 大小の見当をつけるとよ
い。
例えば,a>0,b>0,a+b=1 を満たす数として a=1/23,b=1/2/3 をとると
α=
a²
b² = ( 313 )² + ( ² )² = 5, a²³ + b² =
+=(1/2)+(金)+-(1)+(1/2-1/30
したがって,a>0,6>0,a+b=1のとき,+6< α² + 62 <1 と見当がつく。