を
141
基本 例題 138
正四面体の高さと体積
1辺の長さがαである正四面体 ABCD がある。
(この正四面体の高さをαの式で表せ。
(2)この正四面体の体積をαの式で表せ。
CHART & THINKING
空間図形の問題 平面図形 (三角形) を取り出す
0000023
基本137. 重要 139
(1) 頂点Aから底面 BCD に垂線 AH を下ろすと,AH が正四面体の高さとなる。AHを
求めるために、どの三角形を取り出せばよいだろうか? AB=ACAD であることに,
まず注目しよう。更に,点HはBCDのどのような位置にあるかを考えよう。
(2) 四面体の体積の公式において, (1) で求めた「高さ」に加えて何を求めればよいかを判断
しよう。
解答
(1) 正四面体の頂点Aから底面 △BCD
に垂線AH を下ろすと,
AB=AC=AD であるから
△ABH=△ACH=△ADH
よって BH=CH=DH
D
B
ゆえに、点Hは BCD の外接円の
中心で,外接円の半径はBH である。
よって, BCD において, 正弦定理により
1
a
a
BH=
=
2 sin 60°
3
したがって
AH=√AB2-BH=
=
a².
2
a
a
A
(1) AABH, AACH,
△ADH は,斜辺の長さ
がαの直角三角形でAH
は共通辺である。
直角三角形において, 斜
辺と他の1辺が等しいな
らば互いに合同である。
CD
sin DBC
-=2R
CD=α, <DBC=60°
△ABHに三平方の定理
を適用。
4章
15
三角形の面積、空間図形への応用
2 √6
=
3
3
a
?
B
a H
(2) BCD の面積は
a.a sin 60°-
よって、 正四面体 ABCDの体積は
√3
= a² 4
4
1/13
=
ABCD AH-1√361
/2
a=
3
3
4
12
RACTICE 1383
ABCD の面積
-BD・BCsin∠DBC
(四面体の体積 )
=113×(底面積)×(高さ)
