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[証明] 関数(1+z)e-? =D1-2|2+…はz%30でのテイラー展開に1次の
を収束
が成り立つ、いま1+u,(z) = (1+z/n)e-3m によって u (2)を定めれば, \2
命題5.14 次の無限積は全平面で絶対収束する.
g(2) = i (1+ )em
n=1
n
明] 関数(1+z)e^ =D1-2"/2+…はz%30でのテイラー展開に1次の
O
(|2|Sr)
成り立つ。 いま1+u,(2) = (1+2/m)e-/n によって u,(2) を定めれば, |2|<
Rかつれ2R/r なる限り
R?
len(2)|S M
n?
ゆえにワイエルシュトラスのM-判定法が適用される。
をおesn は零点を持たないから, g(z) の零点は z=-1,-2, … Iに限る。 I
さて,正の実数eに対して,ガンマ関数T(z) はオイラーの公式
1
lim
ニ
T(x)
E >
(5.13)
n→0
n!n*
で与えられる(本シリーズ『微分と積分1』$4.1). 右辺をさらに変形すると
1+ 2+£
n+£
lim n "c
Tg_u
1 2
n→0
n
n
-glog ne
lim e
ニ
k
n→0
k=1
= lim e*(1+1/2+…1/n-logn)ag II (1+-)e.
ニ
n→0
k=1
命題5.14 と比較すると,極限
1
Y= lim (1+
2
-log n) = 0.57721…
n→0
n
が存在することがわかる(これはオイラーの定数と呼ばれる). 以上から z=
が正の実数のとき
1
(5.14)
= e"zi(1+-)e
4/2-
T(z)
n=1