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例題 46
点の存
複素数が次の条件を満たすとする。
(i) (z+1/≤1
(1) z存在する領域を図示せよ。
2i
2+2
(2) に対してw=
(ii) (1-i)2+(1+i) z ≥0
とおく.点wの存在する領域を図示せよ
方 (1) (i)(z+1|は点P(z)と点A(-1)との距離, すなわち, AP1
z=x+yi (x, y は実数) とおいてxとyの関係式を求める.
(2) 例題40の考え方 (ii) を利用する.
■答 (1) (i) 複素数zで表される点をP, -1 で表される点をAとする。
ここで,|z+1|=|z-(-1)|は点P(z)と点A(-1)との距離を
で,|z + 1/≦1 は AP≦1 となる。こ
したがって、点ぇの全体は,点A(-1) を中心とする半径1の円の
・①
および周上を表す。
(i)z=x+yi(x,y は実数)とおき,
(1−i)z+(1+i)z≧0 に代入すると,
(1−i)(x+yi)+(1+i)(x-yi)≧0g=
x+yi-xi+y+x-yi+xi+y≥0
よって, 2(x+y)≧0より
x+y≧0
(2)
①,②より,求める領域は右の図の斜線部分 (境界線
を含む)
2i
(2) w=- において, zキー2より,両辺に z +2を
掛けて,w(z+2)=2i
2+2
10, 20
また, w≠0 より,両辺をwで割って,
sali-1-3)
2010より、両辺に |w|を掛けて,
|2i-w|=|w-2i|≦|wl ....... ④
z+2=
2i
したがって、 z=2-2.③ となる.
w
③を z +1≦1に代入して,
2-2+1≦1より。 |2i-w-12i-wl≤12-2+1|-|²06
w
2ia
W
(1-i) iw-(1-i) ww-(1+i)iw-(1+i
MAORKE
010
よって, B(21) とおくと,④は線分 OBの垂直二等分
線の上側の領域を表す.(境界線を含む)
また ③ を (1-i)z+(1+i)z≧0 に代入して
(1-12-2)+(1+1)(22) 20
www>0より,両辺にww を掛け
(1-i)(2i-2w)w+(1+i)(-2i-2w) w≥0 (
2(1-i)(i-w)w-2(1+i)(i+w)w²0
選手あすから
21-1
W
|2i-1
Tw|
ま
(2)
練習
46
*
(6)
と
***
