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重要 例題 119 2変数関数の最大・最小 (4)
187
実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。
0000
指針 条件式は文字を減らす方針でいきたいが、条件式x+y=2から文字を減らしても,
2x+yはx,yについての1次式であるからうまくいかない。
[ 類 南山大〕 基本 98
そこで, 2x+y=t とおき, これを条件式とみて文字を減らす。
計算しやすいようにy=t-2xとしてyを消去し, x2+y²=2に代入すると
x2+(t-2x)2=2となり,xの2次方程式になる。
この方程式が実数解をもつ条件を利用するとのとりうる値の範囲が求められる。
D≧0の利用。
実数解をもつ
CHART 最大･最小=t とおいて, 実数解をもつ条件利用
最初に最大、最小をもとめてからつを
もとめる
解答
......
2x+y=t とおくと y=t-2x
これを x2+y2=2に代入すると
[参考 実数 a, b, x, y につ
いて,次の不等式が成り立つ
(コーシー・シュワルツの不
等式)。
x2+(t-2x)2=2
整理すると
5x²-4tx+t2-2=0
......
(ax+by)² ≤ (a²+b²)(x²+y²)
このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための条件は,
② の判別式をDとすると
[等号成立はay=bx]
D≧0
a=2, b=1 を代入すると
(2x+y)^2≦(22+12)(x2+y2)
ここで
D=(−2t)² - 5(t²-2)= -(t²—10)
x2+y²=2であるから
(2x+y)≤10
D≧0から
t2--10 ≦0
よって
これを解いて
-√10 ≤t≤√10
-√10 ≤2x+y≤√/10
(等号成立はx=2yのとき)
t=±√10 のとき D = 0 で, ② は重解 x=-
2.5
このようにして、左と同じ答
というからん
えを導くことができる。
2√10
√√√ ₁ = £₁
t=±√10 のとき x=±
①からy=±
5
axtbox+c=0で
2√10
したがってx=-
のとき最大値10
5
12=b²-4ac=0
2√10
√10
ならばこ
5
√10
y=
う
5
5y-
をもつ。
√10
5
(複号同順)
のとき最小値-√10
まわすとき
