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重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定
00000
多項式 f(x) はすべての実数xについてf(x+1)-f(x)=2x を満たし,f(0)=1
であるという。このとき, f(x) を求めよ。
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[一橋大〕
基本15
基本事項
指針 例えば,f(x) が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+c とおいて進めることが
できるが、この問題ではf(x)が何次式か不明である。
なお,f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。
② 条件
与え
3 比例
f(x)=c (cは定数) とすると, f(0)=1から f(x)=1
解答 これはf(x+1)-f(x) = 2x を満たさないから,不適。
よって, f(x)=ax+bx-1+...... (a≠0, n≧1)(*) とす
ると
この場合は,(*) に含ま
れないため、別に考えて
いる。
例え
a
b
えに
→f(x)はn次式であるとして, f(x)=ax"+bx"'+...... (a0.n≧1) とおいて
進める。 f(x+1)-f(x)の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺 2x と比較するこ
とで次数と係数αを求める。
1 恒等
1
24
34
f(x+1)-f(x)
=α(x+1)"+6(x+1)"'+......- (ax”+bx-1+......
=anxn-1+g(x)
ただし, g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。
f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから, 最
高次の項を比較して
n-1=1
......
.. 1, an=2
......
②
①から
n=2
ゆえに、②から a=1
このとき,f(x)=x2+bx+c と表される。
f(0)=1から c=1
(x+1)*
=x"+nCix"-1+nCzx-2.+...
のうち,
a(x+1)"+1-ax” の最高
解説
例 1.
上の
次の項は anx-1で残
りの頃はn-2 次以下と
なる。
(ac+
120
anxn-1と2xの次数と
係数を比較。
(a+b
(act
ゆえに
=2x+b+1
2x+b+1=2x
またf(x+1)-f(x)=(x+1)+6(x+1)+c-(x2+bx+c)c=1としてもよいが,
結果は同じ。
比例式
比a: b
よって
b=-1
この等式はxについての恒等式であるから
すなわち
b+1=0
係数比較法。
値が等し
また, 31
したがって
f(x)=x-x+1
例
2.
POINT
次数が不明の多項式は,n次と仮定して進めるのも有効
20
よって
練習 f(x)は最高次の係数が1である多項式であり,正の定数a,bに対し、常に
③ 21 f(x)={f(x)-ax-b}(x-x+2)が成り立っている。このとき,f(x)の次数およ
びα, bの値を求めよ。
ゆえに
