2枚目の解答の、青線で引いたようになる理由がわかりません 教えてください🙇‍♀️

【 微分法】 目標 : 8分 α を実数の定数とする。 方程式 aex-x+2=0 の実数解の個数を求めよ。 ただし, 必要ならば lim =0を用いてもよい。 ex x+2=0

なぜ連続だと言えるんですか？？

例題 58 極限で表された関数 (2) **** 2n-1 f(x)=lim 1-80 ax -1-x² + bx + c x²+1 で定義される関数が, すべての実数xに (鳥取大改) ついて連続であるための定数a,b,cの条件を求めよ. 考え方 x の極限はx=(x2)"より、x=1 つまり、x=±1 が境目となる. まず、 x°<1 (|x|<1), x=±1.x>1 (|x|>1) に分けて関数f(x) を求め、境目を調べる. →∞ 解答 x|<1 のとき, limx"=0 より f(x)=lim ax2n-1-x2+bx+c |x|>1 のとき, 2n x²+1x¯¯x²+ bx + c limx2=∞ より (S ...... ...① OTR) a 1 b 0 (f(x)=lim x x2n-2 + + 2n-1 x →∞ + 1 2n xin C 2n x" a ② 分母,分子を x2" で割 x る. ①,②より、f(x) は, x=±1 で連続である. ....... ③ ( CC 0=(5)E x=1のとき, f(1) = a+b+c-1 2 x=-1のとき, f(-1)=- -a-b+c-1 2 (1)""={(-1)^}" x=1で連続となるのは, lim_f(x)= lim_f(x)=f(1) x1-0 ②③より したがって の値 x→1+0 =1"=1 (−1)2n-1 =(-1)2"(−1)' limf(x)=6+c-1, b+c_1=q=a+b+c-11(−1)=-1 2 ⑤ 35. -a+b+c=1 x=-1で連続となるのは, 1で連続とな lim f(x)= lim f(x)=f(-1) x-1+0 x-1-0 ① ② ④より,- - 6+c-1=-a したがって, a-b+c=1 -a-b+c-1 2 M x→1-0′ limf(x)=a x→1+0 人はどちらも 式になる. M'm はどちらも ⑥の式になる. m'm Focus よって, ⑤ ⑥より,c=1, a=b f(x)がで連続

(2)でf(x)の定義からf(x)=f(-x)となっているのが分からないので教えて頂きたいです。よろしくお願い致します。

12.0k 33 総合 1 <x<1 で定義された次の関数について、 以下の問いに答えよ。 f(x)= Cn n+ in = 1, 2,・・・・ 数学Ⅲ423 lc (x=0) (1) f(x)がx=0で連続のとき, 数列{cm} はどんな条件を満足するか。 (2) f'(0) が存在するとき, f' (0) の値を求めよ。 (3) f'(0) が存在すれば, 数列{n(Cn-c)}は収束することを示せ。 (1) f(x) は x=0で連続であるから n+1 lim| x→0 limf(x)=f(0)=c x→0 ① -≦|x|<1の各辺の逆数をとって(笑) 1200n 1 n< Txn+1 1 ② すなわち --1=∞ であるから, x→0のとき limf(x)=limcn lim cn=c [ 東京工大) 本冊 例題 91,127 ←x=af(x) が連続 ⇔limf(x)=f(a) xa -1≦x< 不等号の向きに注意。 Tx --(001)-(0) n→∞ Oale (200) (18) 2008 x ゆえに x→0 よって, ① から 818 (2) f(x)の定義から f(x)=f(x) ゆえに f'(0)=lim f(x)-f(0) =lim f(x)-f() } x0 x x→0 -x =-f'(0) ←|-x|=|x| ←微分係数の定義式 総合 f(x)-f(0) の分母分 X 子に-1を掛けてf(x) よって 2f'(0) =0 すなわち f'(0) = 0 (3) f'(0) が存在するとき, (2) から f'(0)=lim f(x)-f(0)=0 ...... ③ x→0 x f(-x) におき換える。 ここで, (1) ②の不等式から ann|f(x)-f(0)|≤. f(x)-f(0) |x| ゆえに n\c-c|f(x)=f(0)| n\cn−c|≤ |f(x)—ƒ(0)| xS)x=(x);\((x)=(x)x-(x)T (n+1)f(x)-f(0)| ·≤(n+1)| cn-c\.. |x| +28-1x8 xSI) (I- GUNT CL -5 ←不等式の等号は f(x)=f(0) のときに成 (4 り立つ。 \f(x)-f(0)|≦(n+1)|cn-c|から |x| |f(x)=f(0)|≤n\C-c\ n n+1 これと④の左の不等式から |f(x)—f(0) 1/(x)-(0)|snlc-cls|1(x)-100)| ここで, n→∞ とすると, x→0であるから, ③より ←両辺に n を掛ける。 [n+1 ← n+1 -≦|x|<1 n | f(x)=ƒ(0) lim -f(0)|=|S(0)1=0 x10 limn|cn-c|=0 よって n→∞ したがって、数列{n(cm-c)}は0に収束する。 ←はさみうちの原理。

下から2行目の結果から常に微分可能だと分かる理由が分からないので教えて頂きたいです。よろしくお願い致します。

総合 関数 f(x) は任意の実数xyに対して、f(x+y+f(x)f(y)=f(x)+f(y) を満たし、x=0では 32 微分可能で' (0)=1とする。 (1) f(0) =0であることを示せ。 (2)f(x)は常に微分可能であることを示せ。 (1) f(0) 0 と仮定する。 与式で x=y=0 とすると 3 f(0)+{f(0)}=2f(0) よって f(0){f(0)-1}=0 f(0) ≠0 であるから f(0)=1 このとき,与式で y=0 とすると よって f(x)=1 ゆえに f(x)+f(x)=f(x)+1 f'(x) = 0 [類 芝浦工大〕 本冊 例題 139 12 HINT(1)背理法。 (2) (0)=1 を微分係 数の定義(極限)で表し, f(0) = 0 を利用。 合 したがって,f'(0)=0となり,f'(0) =1に矛盾。 ←f(x)=f(0)=1から f'(0)=lim x→0 f(x)-f(0) としてもよい。 -=0 x よって,f(0)=0である。 (2) f'(0) =1であるから ( f(h)-f(0) lim f(h) f(h)-f(0) =lim =1 ① ←lim ・=f'(0) h→0 h h→0 h h→0 h 与式で y=hとすると f(x+h)+f(x)f(h)=f(x)+f(h) ゆえに f(x+h)-f(x)=f(h){1-f(x)} 曲 ② ① ② から, 任意の実数xに対して (DE-Ga h→0 よって f'(x)=1= f(x) h→0 すなわち, f(x) は常に微分可能である。 lim f(x+h)-(x) = lim /h) f(h) (8 200-30 {1-f(x)}=1-f(x) -Onizo ←limf(x+h)-f(x) h→0Gh =f'(x)

この極限ってどうやって計算してるんですかね？ 下の極限は分母がゼロになってしまう気がしますが、めっちゃちっちゃい分の2だから∞ってことですか？

これと, limf(t) = limt+ t→±∞ t→±∞ ( 1-e-t =±8 1-2e-t et-1 limf(t) = lim t+ YA t→log 2 ±0 t→log 2 ±0 et-2 =±8

なんでf(x)が2次以下の多項式だと考えられるのか分かりません。至急教えて欲しいです！！

1*97 lim x→∞ x→0 XC f(x)-2x3 x2 f(x) を求めよ。 x→1x-1 f(x) -=1, lim -=-3 を満たすxの多項式で表される関数 x→0 x mil (1)

増減表の左にあるここで、Ｍ＝αが〜 となっていて、式の次数を下げて代入を簡単にしていると思うんですけど、これってどうやったら思いつきますかね？いっぱい解くしかないですかね、

7 最大 最小 (近畿大薬 座標平面において, 4点A(-1, 1), B(-1, 0)C(1,0), D(2,2)と直線y=ma ぞれa,b,c,dとし, I'd とする. Im で表し,Iの最大値と最 一般には極値で最大・最小になるとは限らない 次の人はささいなことだが, 意外にも効 確かに極値で最大・最小となることを答案にはっきり書くようにしよう. 分数関数の極値を求めるとっておきの方法 f(x)=g(x) lim f( 本間の場合, m は実数全体を動くの 最小値があるとすればそれは極大値・極小値しか考えられないが, limf (m), m118 m [証明] ( {h(x)}2 .. h(x) f'(x)='(x) h(x)-g(x)h'(x) g(a) g'(a) h(a) h'(a) f(a)=g(a)_g' (α) h(a) h'(a) がx=αで極値をとりん (α)≠0ならば,f(α)=g′(a) である. h' (a) がx=αで0になるから,g' (α) h (α) 解答 |-m-1| a= b= 1-ml √m²+1 √m²+1 C= |m| √m²+1 |2m-2| d= であるから, 4点A √m²+1 距離 直線の 7m²-6m+5 I=2+2+c+d2= m²+1 f'(m)=- (=f(m) とおく) (14m-6)(m²+1)-(7m²-6m+5)2m (m2+1)2 6m²+4m-62(3m²+2m-3) ・① 6 M M² (m2+1)2 (m2+1)2 -1±10 3m²+2m-3=0の2解は であり,α, B(a<β) とおく. 3 f (m) は右のように増減し, limf(m)=7 m-too なので, m=αで最大, m=βで最小になる. ここで, m=αが①の分子を0にするから, (14a-6) (a2+1)=(7a2-6a+5)-2a 7a2-6a+5 14a-6 a²+1 2a : f(α)=- = m *** a .. B *** f'(m) + 0 f(m) 17 0 + + 9 3 =7--=7+ =7+(√10-1) α √10 +1 同様にf (B) を求め, 最大値はf(α)=6+√10. 最小値はf(B)=6-10 07 演習題(解答は p.58)

導関数は微分係数の集まりで合ってますか？

2 導関数 定義関数 極 値 解説 微分係数 1 ① の定義は数学Ⅱで学んだこととまったく同じ なお, 関数f(x) について, x=α における微分係数 せるとき,f(x) は x=αで微分可能であるという。 関数y=f(x) がx=αで微分可能であるとき、曲線 (定!! 点A(a, f(a))における接線が存在し、多分係数 y=f(x)の点における接線 AT (右図参照)の傾き ■ ② 関数 f(x) がx=aで微分可能ならば、x=a るの証明 lim{f(x)-f(a)}=lim xaに x-a x-a x-a { ƒ (x) − f(a) • (x− a)} = ƒ'( 近づける よって limf(x)=f(a) p.829 x-a ゆえに、f(x)はx=αで連続である。 なお, 関数 f(x) が x=αで連続であっても, f(x)は 分可能とは限らない(次ページの基本例題 60 参照) の 関数導関数 f(a)のあつまり? どの)で関数f(x)が,ある区間のすべてのxの値で微分可能 成立するよう になる!! 可能であるという。 関数f(x) がある区間で微分可能 おのおのの値α に対して微分係数f(a) を対応させる この新しい関数をもとの関数f(x) の 導関数といい hya で表す。 関数y=f(x) からその導関数f(x) を求めることを, をな また, xの増分 4x に対する y=f(x)の増分f(x+ f(x) の導関数f(x)の定義の式は次のように表される 4y f(x+4x)-f( f'(x) = lim 4x-4x →0 =lim 4x10 4x

ここがこうなる理由が分かりません 詳しく教えて欲しいです

27 方程式の実数解の個数と関数のグラフ [709高等学校 数学Ⅲ 練習19] a は定数とする。 次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。 3 x (1) =a x-1 解説 3 (1)f(x)=とすると x-1 f'(x) = 3x2(x-1)-x3.1 (x-1)2 f(x) の増減表は次のようになる。 x f'(x) f(x) (2) xe*—a=0 2x3-3x2 x2(2x-3) (x-1)2 (x-1)2 0 1 3-2 - 0 - - 0 + 極小 27 limf(x) = lim また x→∞ x² 2 18, xX1x x lim f(x) = lim x =8, X→18 X-8 x lim_f(x) =18 x→1-0 lim_f(x) =8, x→1+0 よって, y=f(x) のグラフは,右の図のようになる。 このグラフと直線y=αの共有点の個数は, 求める 実数解の個数と一致する。 したがって a> 27 のとき3個, 27 a = のとき2個, 4 <27 のとき1個 a == 27 24 3-2

140の解き方が解答を見ても全くわからないです💦

B □ 140 関数 f(x) が x=αで微分可能であるとき、次の極限値をf ' (a) で表せ。 (1) limf(a-2h)-f(a) h→0 h *(2) lim f(a+4h)-f(a-h) h→0 h 例題 30 141 次の関数 f(x) は, x=0 で連続であるが微分可能でないことを示せ。 1 xsin- (x=0) f(x)= 0 XC (x=0) 142 次の関数を微分せよ。 *(1) v=(x-2)2(x-3)3 (2) y=(x+2)(x-1)(x-5) 微分法