どうして０以上になるのかわかりません

重要例題 71 2変数関数の最大 最小 のOO00 x, yを実数とするとき, xー4.xy+7y°-4y+3 の最小値を求め, そのとき のx,yの値を求めよ。 基本 57 CHARTO OLUTION 前の例題のようなxとyの間の関係式 (条件式という)がないから, この例題の xとyは互いに関係なくすべての実数値をとる変数である。 難しく考えず, まず を定数と考えて、 式をxの2次関数とみる。 そして 基本形 a(x-p)+q に変形する。 そして、更に残った定数項q (yの2次式)も 基本形 6(y-r) +s に変形する。 (実数)20 ここで,次の関係を利用する。 実数X,Yについて X°20, y"20 であるから, ax°+bY?+k (a>0, b>0, kは定数) は X=Y=0 で最小値ををとる。 解答 x-4xy+7y?-4y+3 ={(x-2y)?-(2y)+7y°ー4y+3 =(x-2y)°+3y?-4y+3 合ッを定数と考え, xにつ いて平方完成。 inf。 xを定数と考えて 平方完成すると次のように なるが、結果は同じ。 7y-4(x+1)y+x'+3 2(x+1)? V +3 =x-29)"+{y-})+ 5 ール x, yは実数であるから +x+3 7 (x-2y)20, (y-)20 したがって, xー2y=0, y-- 2 =0 すなわち 3 4 x==で最小値をとる。 3'

この偏微分の問題解ける方いたら協力お願いします

を 0y Oz0y 求めよ。 5 2変数関数fについて, °f, °f O? Oy? をェとyを使わずに平面極座標 rと0のみを使って表せ. そうなる理由も述べよ。 P NEC レEC

この問題ができません。 ヒントがありがありますが、余計わかりません。

問題13-2 R°上。全能数分可能な間数 fn) af -等)=0 (g e R') が f (x, o)= o(x€R) *す3.-のと f ca.g)= o とちる -とを素せ、(ヒント f(a+t,4-d)(大ER)) 但し d>0 (ag)eR")

下線部の部分、｢x、yは実数であるから｣とありますが、なぜ実数であると言い切れるのかが分かりません。 教えていただきたいです！

指針>(1) 特に条件が示されていないから, x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 1 x, yのうちの一方の文字 (ここではyとする)を定数と考えて, Pを生 よって, Qはx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。 期 140 重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2) (1) x, Yの関数P=x"+3y?+4x-6y+2の最小値を求めよ。 (2) x, yの関数Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6の最小値を求めよ。 なお,(1), (2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 重 (1 (2 (1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大 指 このようなときは, 次のように考えるとよい。 2次式とみる。そして, Pを基本形a(xーカ)+qに変形。 2 残ったq(yの2次式) も, 基本形6(yーr)+s に変形。 3 P=aX'+by?+s (a>0, b>0, sは定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xy の項があるが, 方針は(1) と同じ。 Q=alx-(by+c)}°+d(y-r)°+sの形に CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理 解答 (1) P=x*+4x++3y?-6y+2 =(x+2)-2"+3y-6y+2 =(x+2)°+3(y-1)-3·1-2 =(x+2)°+3(y-1)-5 x, yは実数であるから よって, Pはx+230, y-1=0のとき最小となる。 x=-2, y=1のとき最小値-5 (まず,x について基 次に,yについて基 4P=aX?+bY?+sの形 (x+2)?20, (y-1)"No (実数)20 イx+2=0, y-1=0を x=-2, y=! ゆえに と (2) Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 =x-2(y-2)x+2y?-2y+6 = (x-(y-2)}?-(y-2)?+2y?-2y+6 =(x-y+2)°+y°+2y+2 全 イx?+●x+■の形に。 (まず, x について基料 イ次に, yについて基す 1Q=aX?+bY?+sの 4(実数)20 x, yは実数であるから (x-y+2)*20, (y+1)?20 x-y+2=0, y+1=0 を解くと x=-3, y=-1 =-3, y=-1のとき最小値1 ゆえに 4最小値をとるエ。 y 連立方程式 の解。

2変数関数の極値を求める問題なのですが、私が計算した結果、臨界点に(0.0)がありこの点においてのヘッセ行列式の値が0になってしまうのですが、この点は極値であるかどうかはどうすれば分かるのでしょうか？もしくは自分のミスなのでしょうか、どうか教えて欲しいです🙇‍♂️

7. 関数 f(x,g) =+y- 2+4ay- 2g° の極値を求めよ。

数学に関する質問です。 波線を引いた部分にどうしてなるのか分かりません。 どなたか、良ければプロセスを教えていただけませんか？

例題 73 条件なし2変数関数 実数x, yについて, z=x°-2xy+2y?-4x+2y+8 の最小値と,その ときのx,yの値を求めよ。 考え方 次のような順で解く. 0 x, yは互いに関係なく変化するので, まずxの2次式とみて与えられた式を a(x-■)+A の形に変形する。 2 残った▲の部分(yの2次式)も6(y-口)+△ の形に変形する. 3 a(x-■)+6(y-ロ)*+△ (a>0, b>0, △は定数)は(x-■)と0, (yーロ)20 であるから,xー■=y-ロ=0 のとき最小値△をとることを利用する。 y+2=A とおくと、 (x?-2Ax+A°-A) +2y°+2y+8 =(x-A)?-A° +2y°+2y+8 y-2y+4 も平方完成 する。 解答 z=x-2xy+2y°-4x+2y+8 =x-2(y+2)x+2y?+2y+8 =(x*-2(以は2)x+(t2)-(y+2} +2y?+2y+8 ={x-(y+2)}?-(y+2)*+2y°+2y+8 ={x-(y+2)}+y-2y+4 =(x-y-2)+(y-1)°+3 ここで,(x-y-2)°20, (y-1)?20 より, ス=(x-y-2)?+(y-1)?+323 となるから,xーyー2=0, y-1=0 のとき,最小値3を とる。 よって,求める最小値は, 3(x=3, y=1 のとき) aが実数のとき, a20 であり,等号が 成り立つのは a=0 の ときである。 xーyー2=0, y-1=C より,y=1, x=3

この問題教えてください解き方教えてくださいお願いします

2変数関数の最大 最小 例題 72 実数x, yを変数とする関数 a=x°+10y?-6.xy+2.x-2y+8 の最小値を求めよ。 また, そのときのx, yの値を求めよ。

この問題の解き方がどうしても分かりません、どなたか教えて下さい。よろしくお願いいたしますm(_ _)m

1.次の二変数関数の定義域を図示せよ。 Ty f(r,9) = log 2+ y?+1

(-1)・(-1)=1の証明について 実数の定義(写真の通り)のみから証明する ただし、0×a=a×0=0は示されているとします 1+(-1)=0 (加法の逆元の定義) (-1)×(1+(-1))=0 (両辺に-1をかける) -1 + (-... 続きを読む

定義3.12.実数の集合 R とは次の性質をもつものである。 (A) 四則演算(+, -, x, +)をもつ,つまり,演算(+, x (')) をもち,次 が成り立つ。 i)(和の結合律) (a + b) +c=a+ (b+ c), (a, b, ce R) i)(和の可換律)a+b=b+a, (a, be R) ii) (0 の存在) R の元0で,0+a= a, 'a € Rをみたすものが 存在する。 iv)(和の逆元の存在)任意の R の元aに対して a+6=0を みたす R の元bが存在する.(-a のことです)

こういう問題の時、最後はx,yが実数だから…というふうに範囲を絞りますが、x,yが虚数というのは考えてはいけないんですか？

140 重要 例題87 2変数関数の最大·最小 (2) O000 重要 例題 (1) x, yの関数P3x°+3y°+4x-6y+2 の最小値を求めよ。 (1) 関数 y= (2) x, yの関数Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 の最小値を求めよ。 (2) -1Sxミ 値を求め、 なお,(1),(2) では, 最小値をとるときのx, yの値も示せ。 (1) 類豊橋技科大,(2) 類 摂南大) 指針> (1)特に条件が示されていないから,x, yは互いに関係なく値をとる変数である。 I x, yのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて、Pをま封。 指針>4次関数 に帰着で このようなときは,次のように考えるとよい。 (2) 繰と がt 2次式とみる。そして,Pを基本形 a(x-p)°+qに変形。 2 残ったq(yの2次式) も,基本形 6(yーr)+s に変形。 3 P=aX'+bYy"+s (a>0, b>0, sは定数)の形。 →PはX=Y=0のとき最小値sをとる。 (2) xy の項があるが,方針は(1)と同じ。Q=a{x-(by+c)}"+d(y-r)+s の形に刻 00 CHART 解答 (1) x=tと yをtの式 CHART 条件式のない2変数関数 一方の文字を定数とみて処理 ソ=t- t20の範囲 最小となる 解答 (1) P=x°+4x+3y?-6y+2 =(x+2)?-2°+3y?-6y+2 てe=(x+2)°+3(y-1)?-3-1-2 =(x+2)°+3(y-1)-5 x, yは実数であるから よって, Pはx+2=0, y-1=0 のとき最小となる。 まず,x について基 よって (2) x-2x- t=(x S4次に, yについて基料 P=aX?+bY?+sの形 (x+2)°20,(y-1)。N0 | (実数)20 -1SxS1 x+2=0, y-1=0を x=-2, y=l yをtの ソ=t ①の範囲 ゆえに x=-2, y=1のとき最小値 -5 と (2) Q=x°-2xy+2y?-2y+4x+6 =x-2(y-2)x+2y?-2y+6 ={x-(y-2)}-(y-2)°+2y°-2y+6 =(x-y+2)°+y°+2y+2 =(x-y+2)°+(y+1)?-1?+2 8- t=-2 0S8+ x+●x+■の形に。 t=2 で まず,xについて基 t=-2の ゆえに イ次に,yについて基 よって X, yは実数であるから よって,Qはx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。 xーy+2=0, y+1=0 を解くと t=2 のと (x-y+2)20,(y+1)°z0 (実数)20 ゆえに よって x=-3, y=-1 x=-3, y=-1のとき最小値18大 い 最小値をとるぁpo の解 ゆえに -1Sx= 以上から 連立方程式 0 ()(8 0)=(x 練習 X, yの関数 P=2x"+y?-4x+10y-2 の最小値を求めよ。 練習 87(2) x, yの関数Q=x"-6xu+10 88 なか