重要 例題 104 物
放物線y=x2+αと円x2+y^2=9について,次のものを求めよ。
(1)この放物線と円が接するとき,定数αの値
(2) 異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲
の
0000
指針 放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針
共有点 実数解 接点⇔重解
で考えればよい。
解答
x2=y-a
これをx2+y2=9に代入して
よって y2+y-a-9=0
......
ここで,x2+y2=9から
[1] 放物線と円が2点
で接する場合
37
この問題では,xを消去して, yの2次方程式(y-a)+y2=9の
実数解 重解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも
注意。
(1) 放物線と円が 接する とは,円と放物線が共通の接線をも
つことである。この問題では, 右の図のように, 2点で接する
場合と1点で接する場合がある。
(2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たす。
αの値の範囲を見極める。
(1)y=x2+α から
1点で
接する
2点で接する
消去すると、yの
(y-a)+y2=9+2次方程式が導かれる。
①
x²=9-y²≥000 -3≤y≤3
******
[1] a=-
4
[2]
a=-3
a=3
y
2次方程式 ①②の
範囲にある重解をもつ。
よって, ① の判別式を
Dとすると D=0
3
3
3-
-3
13
O
0
x
-3
13
x
-3 0
-3
D=12-4.1 (-a-9)
37
=4a+37
であるから
=37
a=-
このとき、①の解は y=-
[2] 放物線と円が1点で接する場合
以上から
図から,点 (0, 3), (0, -3) で接する場合
4a+37=0 すなわち
-12となり、②を満たす。
2次方程式
py2+gy+r=0
解け
37
4