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解答
84 メネラウスの定理と三角形の面積
面積が1に等しい△ABCにおいて, 辺BC, CA, AB を 2:1に内分する点をそ
00000
れぞれL, M, N とし,線分 AL と BM, BM と CN, CN と AL の交点をそれ
ぞれP,Q, R とするとき
(1) AP: PR: RL=|
[類 創価大]
(2) PQR の面積は
指針
基本
例題
(1) △ABL と直線CN にメネラウス → LR: RA
△ACL と 直線 BMにメネラウスLP: PA
これらから比AP : PR: RL がわかる。
HART
(2) 比BQ: QP PM も (1) と同様にして求められる。
△ABCの面積を利用して, △ABL → APBR → APQR
と順に面積を求める。
三角形の面積比
(1) ABLと直線CN について,
メネラウスの定理により
:
である。
AN BC LR
NB CL
RA
2 3 LR
1 1 RA
·=1
|:1である。
200
AABC=
3
点で
=1
APQR=
= 1 すなわち
TAB
N
すなわち
よって
LR: RA=1:6... ①
△ACL と 直線BM について, メネラウスの定理により
AM CB LP
MC BL PA
等高なら底辺の比等底なら高さの比
3
ゆえに
2= 3/1/₁ APBR=
6
図解 △ABP=2AABL=243AABC=62727
ABCQ, CAR も同様であるから
A
3
201
7
Pl
よって
LP:PA=4:3 ... (2)
①,②から AP: PR: RL=3:13:1
(2) (1) と同様にして, BQ: QP:PM=3:3:1から
3
AABL=
△PBR=-
BR=127AABL=2424
△ABL=
APQR=(1-3x) AABC="//
7
13 LP
2 2 PA
M
Q
-2- L-1 C
VR
-=1
8A=
◄
1のとき (
469
プレ
LR
RA
Q
R
B 2 L-1-
定理を用いる三角形と直
線を明示する。
基本 82, 83
=1/
A
n
Pl XM
LP
152 = 14/04
PA
Im
から
AP: PR: RL
=l:min とすると
m+n
L-1.mtp-/1/1
6'
l=m=3n
561
4
3
L, M, N は3辺を同じ
比に内分する点であるか
ら,同様に考えられる。
28
△ABCの辺ABを1:2に内分する点をM, 辺BC を 3:2に内分する点を N とす
る。線分 AN と CM の交点をOとし、 直線BO と辺 AC の交点をPとする。
△AOP の面積が1のとき, △ABCの面積Sを求めよ。 白っ
[ 岡山理科大 ]
(1 p.477 EX55
3章
3
12 チェバの定理、メネラウスの定理