2 数列の収東と発散
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基本 例題011 数列の収束と e-N論法の基礎
第n項が an=
である数列(an} は 1 に収東する。これをE-N 論法で証明
n+1
するとき、 s=0.001 とすると、自然数Nの値はどうなるか。 また, 任意の正の数
sに対し、自然数Nをどのようにとればよいか。
指針 定 数列の収束
任意の正の実数eに対して,ある自然数Nが存在して, nzNであるすべての自然数nにつ
いて|a-a<eとなるとき、数列 (an} はαlに収束するという。
ミ=0.001 の場合は、上の不等式にそのまま代入してNを求めればよい。
sのままなら、eで表された式と自然数Nの大小関係を導く。数学ではこれを 「Nをeで評価
する」という。
CHART s-N 論法 s が先, Nが後 Nをeで評価する
解答 0<n<n+1 より
n+1
<1であるから
n
n
1
1
n+1
=1
の
n+1
n+1
[1] =0.001 のとき
lan-1|<e とのから
<0.001
すなわち
1
1
n+1
n+1
1000
よって、n+1>1000 から
したがって、自然数Nは 1000 以上 にとればよい。
n>999 …2
[2] が任意の正の数のとき
|an-a|<e が成り立つならば, ①から
11
<e
n+1
ゆえに,n+1>
から
E
1
n>
1
E
よって,自然数Nは--1|+1以上 ([ ] はガウス記号)にとればよい。
-1 から
[2] について、--1は--1の整数部分である。 e>1のとき、-=
|+1=0 となるが, その場合の自然数Nのとり方は任意である。
はで欲/Ntとれと、
自然数んが入る
>ハミNフいをな。
となな。
ゆえに1点-11 - くをと
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