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練習 56
練習 56 3 つの自然数 α, b, c が ' + b2 = c を満たすとき, a, bのうち少なくとも
1つは3の倍数であることを証明せよ。 ただし, 3の倍数でない整数の2乗を
3で割った余りは1であることを用いてもよい。
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a b がともに3の倍数ではないと仮定すると,
α', b2 はともに3で割った余りが1であるから,m, nを整数として,
a =3m+1, b2=3n+1 と表せる。
よって a+b2 = 3m+1+3n+1=3(m+n) +2
となり,m+nは整数より, a +62 は3で割った余りが2である。
一方, cは3の倍数かまたは3で割った余りが1である。
ゆえに, + 62 = c であることに矛盾する。
したがって, a, bの少なくとも1つは3の倍数である。
背理法による。
cが3の倍数ならばc
は3の倍数であり,cが
3の倍数でないならば,
c” を3で割った余りは1
になる。
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