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解答
例題 100 円周上の点における接線
/p.153, p.154 昼頃
円(x-1)+(y-2)=25上の点P(4, 6) における接線の方程式を求めよ。
基本例
指針 接線の方程式を求める方法として, 以下の4通りの方法がある。1の解法が最も
であるが, いろいろな解法を身につけておこう。
① 公式利用
点Pは円周上の点であるから、接線の公式を用いて直ちに求められる。
円(x-a)+(y-b)'=r2 上の点 (x1,y) における接線の方程式は
(x₁-a)(x-a)+(y₁−b)(y-b)=p²
② 接線半径
円の中心をCとすると, 点Pにおける接線は半径 CP に垂直である。
したがって,点Pを通り,直線 CP に垂直な直線を求めればよい。
[3] 中心と接線の距離 = 半径
点Pを通る直線の方程式を作り, これと円の中心Cの距離が半径に等しければ接
になる点と直線の距離の公式を用いて,直線の方程式を決定すればよい。
④ 接点重解
点Pを通る直線の方程式を作り,円の方程式と連立させて得られる2次方程式が
解をもつとき,接線になる。その際、重解⇔ 判別式D=0 を用いる。
① (4-1)(x-1)+(6−2)(y-2)=25
よって
3x+4y=36
② 円の中心をC(12) とする。
求める接線は,点Pを通り,.
半径 CP に垂直な直線である。
4
直線CP の傾きは
であるか
ら 求める接線の方程式は
3
y-6=(x-4)
ゆえに
両辺を2乗して
①
YA
0
|m・1-2-4m+6|
√m² + (−1)²
すなわち mx-y-4m+6=0
と表される。
8\5=1
円の中心 (12) 直線 ① の距離が円の半径5に等しい
から
=5
i
P(4, 6)
C(1,2)
すなわち 3x+4y=36(S+p)-(+
③点Pにおける接線はx軸に垂直でないから、傾きを ③ 中心と接線の距離=半径
m とすると,接線の方程式は
<x軸に垂直な直線は
y-6=m(x-4)
y=mx+nの形で表せ
の確認を
ないから,
している。
| |-3m+4=5√m²+1
(-3m+4)=25(m²+1)
公式利用
2② 接線半径
この解法は,円の接線の
公式を導くときに利用さ
れるものである(p.154
解説参照)。
垂直傾きの積が
点 (x1, VL) と直線
ax+by+ c = 0)の距離は
[ax₁+by+c|
√a²+b²
整理すると
よって
これを①に代
④点Pにおけ
m とすると,
y.
すなわちy
と表される。
②を円の方
(
検討
整理すると
(m² +1
m²+1=0ヵ
D
4
|=1
= (L
=16
直線②
したがって
よって
これを②
円の接線の
円の接線に一
とよいが,
る場合は,
の CHART
なお, p.16
習した後で
CHART
1
3
公中
練習次の円の
② 100
(1) x2+
