青チャート数2b　21の解説について。段取りはわかったのですがなぜanx^n-1という最高次数の項と2xが比較されているのでしょうか?恒等式というのは存じているのですが、g(x)の中に同じ次数を持ったやつがいる可能性はないのですか？ 申し訳ないです。解説お願いします。

重要 例 21 等式を満たす多項式の決定 多項式 f(x) はすべての実数xについてf(x+1)f(x)=2x を満たし, f(0)=1 [一橋大] であるという。このとき, f(x) を求めよ。 指針 例えば、f(x)が2次式とわかっていれば, f(x)=ax2+bx+cとおいて進めることが できるが,この問題ではf(x) が何次式か不明である。 →f(x)はn次式であるとして, f(x)=ax+bx-1+.. (a=0, n ≧1) とおいて 進める。 f(x+1)f(x)の最高次の項はどうなるかを調べ,右辺2x と比較するこ とで次数 n と係数 α を求める。 なお, f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。 f(x)=c (cは定数) とすると, f(0) = 1から f(x)=1 解答これはf(x+1)- f(x)=2.x を満たさないから,不適。 よって, f(x)=ax+bxn-1+... ると (a≠0, n ≧1)(*) とす f(x+1)f(x) ...... =a(x+1)"+6(x+1)"'+......-(ax+bx"-1+.....) =anx-1+g(x) ただし, g(x) は多項式で,次数はn-1より小さい。 f(x+1)f(x)=2xはxについての恒等式であるから,最 高次の項を比較して n-l=1 ...... ..0, an=2 ..... ....... よって 2x+6+1=2x この等式はxについての恒等式であるから すなわち b=-1 したがって f(x)=x-x+1 ② b+1=0 基本 15 この場合は, (*)に含ま れないため、別に考えて いる。 ◄(x+1)" ①から n=2 ゆえに、②から a=1 このとき, f(x)=x2+bx+c と表される。 f(0)=1から c=1 またf(x+1)-f(x)=(x+1)^+6(x+1)+c-(x2+bx+c)c=1としてもよいが, =2x+6+1 結果は同じ。 =x"+nCix"-1+nC2x"-2+... のうち, a(x+1)+1-ax” の最高 次の項は anxn-1 で 残 りの頃はn-2次以下と なる｡ <anxn-1と2x の次数と 係数を比較。 係数比較法。 POINT 次数が不明の多項式は,n 次と仮定して進めるのも有効

数2です 解説見てもわかりません（泣） 答えは次数2，Aは2，Bも2です

2000=200 POINT 次数が不明の多項式は,n 次と仮定して進めるのも有 0よってa=10 →1-25%. b=-1. 練習 f(x) は最高次の係数が1である多項式であり、正の定数a,bに対し、 ④_21_f(x2)={f(x)-ax-b}(x2-x+2) が成り立っている。このとき, f( びα, b の値を求めよ。 1 b

不定積分に関する問題で分からないところがあったのて質問させていただきます。 画像1枚目の問題(1)です。 この問題ですが、∮f(x)dxをAと置き換えて解くことは可能ですか？ 解説を見てもいまいちしっくりこなく、類題を探しても中々出てきません😢 画像2枚目の解説で、青の線... 続きを読む

問題 19-1 次の方程式をみたす整式f(x) を求めよ。 (1) xf (x) + f(x) dx=3x²+6x+2 3 (2) f(x) dx + xf'(x) = 2x³ +8x²-3x-5

次数が3になるのはなぜですか？ A、B、Cの置き方はどのように決定しているのでしょうか… どなたか解説お願いします🙏

(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z) +(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z) +(x+y+z)(x+y-z)(x+y+z) -(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z) を展開するととなる. 次の選択肢から選べ. 4x2y2z2, 2x2y2z2, 8xyz, x+y+z 1.1 (17 山梨学院大)

193.3 この記述でも問題ないですよね？？

304 00000 基本例題 193 導関数と微分係数 (1) 関数f(x)=2x+3x2-8x について, x=-2における微分係数を求めよ。 (2) 2次関数f(x) が次の条件を満たすとき, f(x) を求めよ。 A (1)=-3. f' (1)=-1, f'(0)=3 (3) 2次関数f(x)=x2+ax+bが2f(x)=(x+1)f'(x)+6を満たすとき,定数の b の値を求めよ。 基本191) Webs 指針▷ (1) x=q における微分係数 f'(a) は,導関数 f'(x) を求めて, それに x = a を代入する。 簡単に求められる。 f(x)は2次関数であるから, f(x)=ax²+bx+cとする。アーム ②2 導関数 f'(x) を求め, 条件をa, b, c で表す。(笑) ③3 a,b,c の連立方程式を解く。 (3) 導関数 f'(x) を求め,条件の等式に代入する。一(d+xp(s+xmi= →xについての恒等式であることから, α, 6の値が求められる。 (2) 解答 (1) f'(x)=2.3x2+3・2x-8・1=6x²+6x-8 したがって f'(-2)=6・(-2)^+6・(-2)-8 =4 J3 (0+20) (2) f(x)=ax2+bx+c (a≠0) とすると (1) f'(x)=2ax+b() a+b+c=-3 2a+b=-1 f(1)=-3 から f' (1)=-1から f'(0)=3 から これを解いて したがって (3) f(x)=x2+ax+bから 与えられた等式に代入すると b=3 a=-2,6=3, c=-4 f(x)=-2x2+33-4 f'(x)=2x+α 1-2x3. = (d+xb) = ( 2(x2+ax+b)=(x+1)(2x+α)+6 整理して 2x2+2ax+26=2x2+(a+2)x+a+6 これがxについての恒等式であるから、両辺の係数を比較 すると 2a=a+2, 2b=a+6 これを解いて a=2, b=4 ^²(6+x)) = (+2) -3r²-12r+5@r=1 / tu TUALET 微分係数 f'(a) の求め方 [1] 定義 (p.296 [①])に従って 求める [2] 導関数 f'(x) を求めて、 x=a を代入する。 の2通りがある。 例題 1931) では [2] の方法の方が早い。 なお、定義に従うなら f(-2+h)-f(-2) h f'(-2)=lim または f'(-2)=lim として計算。 ho x-2 f(x) f(-2) x-(-2) 係数比較法。 1

5の(3)の問題が分かりません 定数項とは 係数が1で、次数が最も大きいものであってますか？ そうだとすると、X18乗が定数項で答えは係数の1ではないですか 解答編持っているのですが答えは分かるのですが説明は理解できませんでした

二項定理 式の展開 二項定理と 係数決定 二項定理と 等式の証明 4 (3x-y) の展開式を求めよ。 ポイント1 3x-y=3x+(-y) として, 二項定理を適用。 パスカルの三角 形を利用してもよい。 重要例題 5 次の式の展開式における [ ]内の項の係数を求めよ。 5 (1)(2x+3y) [x°y2] (2) (5x2−2)® L [x] (3)(x-2) [定数項] ポイント② (a+b)" の展開式の一般項は " Cα"-"b" n 6 次の等式を証明せよ。 nCnC2 + · + (-1)^ * C₂ = (-²) ₁ nCn =(1)

17. 記述これでも問題ないですか？？

36 FREL 基本例題 17 分数式の恒等式 a/00000 次の等式がxについての恒等式となるように,定数a,b,cの値を定めよ。 -2x2+6 has b c (x+1)(x-1)2x+1 x-1+(x-1)^2 = 指針▷分数式でも,分母を0とするxの値 (本問では−1, 1)を除いて,すべてのxについて成 り立つのが恒等式である。 与式の右辺を通分して整理すると -2x²+6 a(x-1)²-b(x+1)(x−1)+c(x+1) (x+1)(x-1) 2 (x+1)(x-1)2 両辺の分母が一致しているから, 分子も等しくなるように, 係数比較法または数値代入法 でα, b,cの値を定める。 このとき, 分母を払った 整式を考えるから, 分母を0にする値 x=-1,1も代入してよい (下の 検討 参照)。 TRIAHO 解答 両辺に(x+1)(x-1)2 を掛けて得られる等式 -2x2+6=a(x-1)2-6(x+1)(x-1)+c(x+1) もxについての恒等式である。 解答1. (右辺)=a(x2-2x+1)-6(x2-1)+cx+c =(a-b)x2+(-2a+c)x+a+b+c 2011 = OS=dA [S=08 よって 両辺の同じ次数の項の係数は等しいから a-b=-2, -2a+c=0, a+b+c=6 この連立方程式を解いて -2x2+6=(a-b)x2+(-2a+c)x+a+b+c a=1,b=3,c=2 解答 2.① の両辺にx=-1, 0, 1 を代入すると,それぞれ 4=4a, 6=a+b+c, 4=2c この連立方程式を解いて 基本 15 16 a=1,b=3,c=2 このとき, ① の両辺は2次以下の整式であり,異なる3個の x の値に対して成り立つから,①はxについての恒等式であ る。 したがって a=1, b=3, c=2 (分母) ¥0 から (x+1)(x−1)²=0 係数比較法による解答。 「両辺の係数を比較して｣ と書いてもよい。 MEG 12-20 数値代入法による解答。 求めたa,b,cの値を① の右辺に代入し、 展開した ものが ① の左辺と一致す ることを確かめてもよい。 検討 分母を0にする値の代入 分母を0にする値x=-1, 1 を代入してよいかどうかが気になるところであるが, これは問題 ない。なぜなら、値を代入した式①は, x=-1, 1でも成り立つ整式の等式だからである。 すなわち、xにどんな値を代入してもよい。 そして,この等式が恒等式となるように係数を定めれば, 両辺を (x+1)(x-1)で割って る分数式も恒等式である。 ただし, これは x = -1, 1 を除いて成り立つ

(2)についてです。 解説の7行目にある式で、左辺の-xは右辺ではどこへ行ったんですか？ 教えてください！

51. (1)の整式 P(x) を x-1 で割った余りが1, x-2で割った余りが 2,3で割った余りが3となった. △ P(x) を (x-1)(x-2)(x-3) 割った余りを求めよ. (2)は2以上の自然数とする. k=1, 2, 3, ….., n について, 整式 P(x) を xk で割った余りがんとなった. P(x) を (x-1)(x-2)(x-3). (x-n) で割った余りを求めよ. (神戸大)

61.1 このような記述でも大丈夫ですよね？？

0000 式という えると の2 a+by^- 201 X [日本 2行目の式 1 x 解答 を断ってから 一割る。 なお (1)xを1の3乗根とすると 程式の左 ゆえに x³-1=0 (左辺=2 したがって を入れ 1-1- x この式と 1 ot Hit 基本例題 61 (1) 1の3乗根を求めよ｡ (2)1の3乗根のうち, 虚数であるものの1つをとする。 (ア)2も1の3乗根であることを示せ。 1 えることが 1 指針 (1) (2) (1) w²+w³, +1+1, (w+2w²)²+(2w+w³²)² iznenkok. 2 (2) ア @= これを解いて, 1の3乗根は -1+√3i 2 練習 61 1の3乗根とその性質 基本58 3乗してαになる数,すなわち、方程式x=αの解を,αの3乗根という。 (1)で求めた方程式x=1の虚数解を2乗して確かめる。 (ア) (イ)は方程式x²+x+1=0, x=1の解→ ²+ω+1=0, ω²=1 2 -√3 i 4 口を よって, w2も1の3乗根である。 -91+2 (1) ω は方程式x+x+1=0, x=1の解であるから ω'+ω+1=0,ω'=1 よって x-1=0 または x²+x+1=0 -1+√3 i 2 とすると i 0 ² = ( = 1 + 2√³²)² =. 1-2√3 i+3i²_-1-√3i 2 とすると x³ =1 「POINT｣ 1. w²=(1-√3i)°_1+2√3i+3p _ _1+√3i 2 141 w² (x-1)(x²+x+1)=0 w²+w=(w³)² w+(w³) ² w²=w+w²=-1 w+1+w² w² よって また -=0 W ω'+ω+1=0から, w2=-ω-1 となり (w+2w³)²+(2w+w³)² = {w+2(-w-1)}²+(2w-w-1)² =(-w-2)²+(w-1)²=2w²+2w+5 +1= =2(-ω-1)+2+5=3 00000 (1) 200+50 (3) (w200+1)100+(ω100+1) 10 +2 3次方程式の解は複素数の 範囲で3個。 ω はギリシャ文字で､ オ メガ」と読む。 (検討) x=1の虚数解のうち、どち としても,他方が となる。よって、1の3乗根 it 1, w, w¹ ω'=1 を利用して, 次数を 下げる。 ω=-ω-1 を利用して、 次数を下げる。 12(w²+w+1)+3=2-0+3 としてもよい。 1の虚数の3乗根の性質 ①2+ω+1=0 ② ω'=1 がx2+x+1=0の解の1つであるとき,次の式の値を求めよ。 1 1 w² p.110 EX44 99 2章 11 高次方程式

55.2 値の知れないQ(x)を消したいからx^2-1=0としたいけどx=iと置いていいのか躊躇しました。求めるxが整数、自然数、有理数とか書いてなければx=iとおいてもいいのでしょうか？

-3x+71 求めよ。 る。......... -1)(x-2) りを考える。 った余りは、 弐または定数 て 1,2 b,cの値 りを見つける 1式)から ■ち b=3 ここの練習5 効である。 を ったときの すると, (-2)(x) 2) +R(x)) a)+R( 代入。 5であ 38 ► 重要 例題 55 高次式を割ったときの余り (1 x"-1 を (x-1)²で割ったときの余りを求 2以上の自然数とするとき, めよ｡ (23x100+ 2x7 +1 を x2 +1 で割ったときの余りを求めよ。 指針 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 p.88~90 でも学習したように, ① 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用 R の次数に注意, B=0 を考える がポイント。 (12) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが, それだけでは足りない。 そこで、 次の恒等式を利用する。 ただし, nは2以上の自然数, α=1, 6°=1 α-b²=(a-b)(a-1+α-26+α"362+..+ab^2+b^-1) |x-1=(x-1)'Q(x) +ax+b••••• ① (2)x+1=0の解はx=±i x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件 A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0 を利用。 両辺にx=1 を代入すると ①に代入して x-1=(x-1)*Q(x+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+α} 解答 (1) x-1 を (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b 解 (1) 二項定理の利用。 とすると,次の等式が成り立つ。 x-1={(x-1)+1}"-1 0=a+b すなわち b=-a ここで, x-1=(x-1)(x"-1+x"-2+・・・・・・+1) であるから xn-1+xn-2+..+1=(x-1)Q(x)+α この式の両辺にx=1 を代入すると 1+1+ ······ +1=α a=n よって b=-αであるから ゆえに, 求める余りは nx-n (2) 3x100+2x+1 を x² +1 で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a,b は実数) とすると,次の等式が成り立つ。 3x100+2x+1=(x2+1)Q(x)+ax+b 00000 3・1+2i+1=ai+b 4+2i=b+ai n 両辺にx=i を代入すると 3i100+ 27 +1=ai+b i100= (i2)50=(−1)=1, "= (i²) i=(-1)*i=i であるから すなわち a,b は実数であるから したがって 求める余りは 2x+4 [学習院大 ] a=2, b=4 b=-n 基本 53.54 =Cn(x-1)^+..+n Cz(x-1)2 +mCl(x-1)+1-1 =(x-1)^{(x-1)^^2+..+°Cz} tron ゆえに, 余りはnx-n また, (x-α)の割り算は微 分法(第6章) を利用するのも 有効である (p.305 重要例題 194 など)。 微分法を学習す る時期になったら,ぜひ参照 してほしい。 x=-iは結果的に代入し なくてもよい。 実数係数の整式の割り算で あるから、余りの係数も当 然実数である。 練習 (1) n を2以上の自然数とするとき, x” を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。 (p.94 EX39 55 (2) xlo+x+1 を x2 +4で割ったときの余りを求めよ。 91 2章 10 剰余の定理と因数定理