EX
③ 128
(1)次の条件を満たす 3次関数 f(x) を求めよ。
f'(1)=f(-1)=1, f(1) = 0, f(-1)=2
[国士舘大]
(2) f(x)=ax+1+bx+1(nは自然数)が(x-1)”で割り切れるように、定数a,bの値を定め
よ。
(1) f(x)=ax+bx2+cx+d(0) とすると
f'(x) =3ax2+2bx+c
X3
f'(1)=1から
3a+26+c=1
①
f'(-1) =1から
3a-2b+c=1
f(1) = 0 から
a+b+c+d=0
(3
f(-1) =2から
-a+b-c+d=2・・
(4)
①~④を解いて
a=1, b=0,c=-2, d=1
したがって
”
f(x)=x-2x+1
(2) f(x)=axn+1+6x"+1から
f'(x)=(n+1)ax+nbxn-
f(x) (x-1)2で割り切れるための条件は
<)f(1)=0 かつ (1) = 0
a+b+1=0
......
①
(n+1)a+nb=0 ...... ②
f(1)=0から
f'(1) = 0 から
② ①xn から
a=n
......
①に代入して
b=-n-1
← ①② から 46 0
③ + ④ から
2(b+d)=2 など。
←a=1はa≠0 を満たす
20←xの多項式 f(x) が
(x-α) で割り切れる
⇔f(a)=f'(a)=0