指
r!(n-r)! を利用して, knCk, nn-iCk-1 をそれぞれ変形する。
(2)(ア) 二項定理 (p.11 基本事項 ④4) において, a=1,b=xとおくと
(1+x)"="Co+mx+2x+•••••• Crx+......+nCax"
等式 ① と, 与式の左辺を比べることにより,① の両辺でx=1 とおけばよいことに気
づく。同様にして, (イ), (ウ)ではxに何を代入するかを考える。
nor
解答
(1) knCk=k•
n!
= n°
k! (n-k)!
(n-1)!
(k-1)!(n-k)!
よって
(n-1)!
(k-1){(n-1)-(k-1)}!
nn-1Ck-1=n・
したがって
knCk=nn-1Ck-1
(2) 二項定理により、 次の等式 ① が成り立つ。
(ア)等式①で,x=1 とおくと
=n'
<n!=n(n-1)!
(n-1)!
(k-1)!(n-k)!
......
すべてのxの値に対して成り立つ。
①
(1+x)"="Co+nC1x+nC2x2+••••••Cx+... Crx”
(1+1)"="Co+C1・1+C2・12+・・・・・・・1......+nC„ ·1"
nCo+nC1+nC2+ ...... +C+..... +C=2"
......
よって
(イ)等式①で,x=-1 とおくと
(1−1)=nCo+C1・(-1)+,C2・(-1)+..+nCr.(-1)' +….……….+"C"・(-1)"
nCo-nC1+nC2-......+(-1)'nCr+..+(-1)*nCn=0
よって
(ウ)等式①で,x=-2 とおくと
(1−2)”=nCo+nC₁• (-2)+nC₂• (−2)²+...+nCr• (-2)" +...+nCn• (−2)²
n Co-2nC1+22 C2+(-2)"nCr+..+(-2)”„C=(-1)"
の展開と因数分解、二項定理
