例題(18図多の性質と式の計算
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右の図のように,中心が同じで半径が異なる大, 小2つの円がある。
2づの円の中心を0とし, 大きい円の周上の点をA, 線分OAと小
さい円の交点をBとする。
また、線分 ABの中点をMとし, 点Mを通る同心円(図の赤い円)
の周の長さを.大きい円と小さい円で囲まれた部分(図の黒く塗
った部分)の面積をSとする。
B
このとき, S={×AB であることを, OA=a, OB=bとして証明しなさい。
円周の長さ,円の面積を文字で表し,式をつくって計算。
S=(大円の面積)-(小円の面積)。
e=2元×(赤い円の半径)。
AB=(大円の半径)-(小円の半径)
確認>円周の長さと面積
円の半径をrとすると
円周の長さ 2xr
円の面積
これらを OA=a, OB=bと円周の長さの公式, 円の面積の公式を使っ
て表し,Sと×AB が同じ式で表されることを示す。
解答
Im .
大円の半径はa, 小円の半径は6であるから
(a>bである。
S=xXOA?-元×OB"=xXa'-xX6?
=元(a?-6)=x(a+6)(a-b) .
点Mを通る同心円の半径は線分OMであり, Mは線分ABの中点であ
3AB
のの
(平方の差は、和と差の積
に因数分解。
OM=OB+BM=OB+
OA+OB
(OM=
2
てもよい。
るから
と考え
ーb+(a-6)=a+)
=2x×-(a+)=x(a+)
よって
eXAB=x(a+b)(a-b) ②
S={XAB
10と同じ式で表された。
したがって
の, 2から
