(2)です。 解説の3行目と4行目がわからないです。 (3行目)だから(4行目)になる関連性？を教えてほしいです。

*46 (1) a,b,c,d が正の数でα>b,c>d のとき, acbdであることを証明せ よ。 教 p.29 例 11 (2)xyのとき,x+2yx+3y であることを証明せよ。 教 p.30 例 12 3 4 (3) a>b>c>d のとき, ab+cd>ac+bd を証明せよ。 教 p.30 例題 9

答えの導き出す方法を分かりやすく説明してほしいです>_<

不等式 √a2+b2slal+16/≦√2√a +62 を証明せよ。

サクシード数IIの問題です!!不等式の証明です。 解説も全然意味がわからないので助けてくださいｰ!!

問題 3 変数への 拡張 (S) 29|a|<1,|6|<1, |c|<1 のとき,次の不等式を証明せよ。 (1) ab+1>a+b (2) abc+2>a+b+c ポイント④ (2) は,(1)を3文字の場合に拡張した不等式。 本問では,(1)を利用して, (2) を導くことができる。 |a|<1, |6|<1から a-1<0, b-1<0 解説 29 (1) ab+1-(a + b) = (b − 1) a − (b −1) =(a-1)(6-1) よって (a-1)(6-1)>0 すなわち ab+1-(a+b)>0 (2)|a|<1,|6|<1から abc +1 > ab+c |ab|<1 また |c|<1 したがって ab+1>a + b よって, (1) から abc+1 > ab + c すなわち ① |a|<1, |6|<1 から, (1) により ab+1>a + b ① ② の辺々を加えて したがって abc+ab+2>ab+a+b+c abc +2 >a+b+c AS ←|a|<1⇔1<a<1 ||<1⇔-1<b<1 ← (1)の不等式を利用

不等式の証明です。𓏸𓏸>0、△>0であるから と記入する時と、左辺-右辺をして出た答えにそのまま>0 をつける時とは何が違うのですか？

e=abc c)=0 2 23 =(x+ x. 2 8°1² 20, y220であるから 五

マーカーをつけたところがなぜそうなるのかわかりません。教えて欲しいです。

12 2012年度 文系 〔3〕 以下の間に答えよ。 (1) 正の実数xyに対して +2 x y ~( が成り立つことを示し, 等号が成立するための条件を求めよ。 (2)nを自然数とする。 個の正の実数 α1, ..., am に対して (a)+ … +α) ・+・・・+ B が成り立つことを示し,等号が成立するための条件を求めよ。 ポイント (1) 〔解法2] のように (左辺) (右辺) を計算してもよいが, 〔解法 1〕の ように相加平均と相乗平均の関係を用いるのが自然である。 (2) 左辺を展開すれば, (1)が利用できる組が多く現れるので,その個数を確認すればよ い。 a-1 1 + a. an an an an + + + + 1 a1 a2 a3 an-1 a a2 + ai a-1 an + + = +n α2 a a3 a an an-1 ここで, arai + ai ak a (1≦k<l≦n) の形の項はC2個あり>0.0なので (1) より +z2 (等号成立は のとき) a ak したがって n(n-1) (左辺) ≧2m C2+n=2. +n=n² 2 また, n=1のとき, (左辺) =α・ a1 1=1, (右辺)=12=1で等号が成り立つ。 以上より (a+…+a) +...+ 1) ≥n² (証明終) 等号成立の条件は,n=1のときは任意の正の実数, n≧2 のとき, すべてのk.I について, a=a が成り立つ場合なので a a2 an ...... a1= a2= = an ( 1 1 〔注〕 (2) (α+α+ … +α) + + ··· + \aa2 (+ の展開に (証明終) ついては,右のような表を考えれば対角線上に1が並び、 対角線に関して対称な位置にある2つの数を組合せれば よいことに気づくだろう。 11. Q2 a 1 a₁ (1 1 a2 Q2 解法 1 (1)x0,y>0より10.50なので,相加平均と相乗平均の関係より 2x +22 すなわち +522 x y x y xy 等号成立は,=のときなのでx=y2 xy x>0,y>0より,x=yのときである。 ……(答) 2) n≧2のとき (a1+a2+…+an) + +・・・+ a a2 an a1 a1 a1 = 1 + + + + a2 a3 am a2 a2 a2 +- +1+ + + a1 a3 an a3 a3 a3 + + + 1 + + a2 an 解法 2 11 a Q2 an an am 1 (1) 2+1-2= x²-2x+y2(x-y)^ -≥0 (x>0, y>0) xy xy xy (証明終) ゆえに xy 等号成立は,x-y=0 すなわちx=yのとき /

数学的帰納法で、n=k+1の証明でn=kで仮定した条件を用いて証明してもよいのでしょうか n=k+1で自分は不等式を作り左辺に移項したあと「n=kの仮定より」みたいな感じで証明したのですけどこれが解答として正しいやり方なのか教えてほしいです

基本 例題 47 数学的帰納法と不等式の証明 423 00000 25 を満たす自然数nに対して, 22 が成り立つことを数学的帰納法に よって証明せよ。 CHART & SOLUTION 数学的帰納法 (一般 [1] 出発点は n=1 に限らず [2] n=k の仮定から n=k+1 の証明 この例題では,n≧5 であるから,まず [1] n=1のときの代わりに [1] n=5のとき を出発点とする。 420 基本事項 1. 基本45 また, 不等式 A>B を証明するのであるから, A-B> を示せばよい。 解答 2">n2 ...... ① とする。 [1] n=5のとき (左辺 =25=32, (右辺) =52=25 ゆえに,不等式① は n=5のとき成り立つ。 ① [2] k≧5 として,n=k のとき ①が成り立つと仮定すると ときい)が成り立つと仮定 n=k+1 のとき,①の両辺の差を考えると $50 (= 17 (左辺)=2+1 1章 5 数学的帰納法 2k+1_(k+1)=2.2-(k+2k+1) >2k2-(k+2+1) + (右辺)=(k+1)2 +2.2">2.k² =k2-2k-1=(k-1)^2>05であるから すなわち 2 +1(k+1)2 よって, n=k+1 のときにも不等式①は成り立つ。 [1] [2] から, n≧5を満たすすべての自然数nについて不等 式①は成り立つ。 (k-1)^2はk=5で 最小値 14 (>0) をとる。 INFORMATION 2 と n2の大小関係 関数 y=2*, y=x2 のグラフは右の図のようになる。 このグラフから2">n (n≧5) がわかる。 y. 16- y=x2 これを繰り返すことに、 4F- v=2 O 2 4x

基本例題29(1)(2)の解説お願いします🙇

51 基本 例題 29 不等式の証明 (絶対値と不等式) 00000 次の不等式を証明せよ。 (1)|a+bl≦|a|+161 (2) |a|-|6|≦la-61 p.42 基本事項 4. 基本 28 1章 CHART & THINKING 似た問題 結果を使う 4 ② 方法をまねる 絶対値を含むので,このままでは差をとって考えにくい。 AA を利用すると, 絶 対値の処理が容易になる。 よって, 平方の差を作ればよい。 (2)証明したい不等式の左辺は負の場合もあるから, 平方の差を作る方針は手間がかかり そうである(別解 参照)。 そこで, 不等式を変形すると |a|≦la-61+16 (1) と似た形になることに着目。 ①の方針で考えられそうだが, どのように文字をおき換えると (1) を利用できるだろうか? 解答 (1) (|a|+|6|-|a+6=(a+2|a||6|+16)-(a+b)2 A≧0 のとき |-|A|≦A=|A| 等式・不等式の証明 =α²+2|ab|+b2-(a²+2ab+62) =2(abl-ab)≧0 ...... (*) A <0 のとき -|A|=A<|A| la+b=(a+16)2 であるから,一般に la+6|≦|a|+|6| -|A|A|A| 更にこれから la+6/≧0,|a|+|6|≧0 であるから よって 別 -10≧≦|6| であるから -lak≦a≦lal, 辺々を加えて -(|a|+|6|)≦a+b≦|a|+|6| la+6|≧|a|+|6| |a|+|6|≧0 であるから (1)の不等式の文字αを a-b におき換えて |(a-6)+6|≦la-6|+|6| よって|a|≦la-6|+|6| ゆえに |a|-|6|≦la-61 別解 [1] |a|-|6|<0 すなわち |a|<b のとき (左辺) < 0, (右辺) > 0 であるから不等式は成り立つ。 [2] |a|-|6|20 すなわち |a|≧|b のとき la-b2-(al-16)²=(a-b)2- (a²-2|ab|+b²) =2(-ab+labl≧0 よって (al-ba-b12 |a|-|6|≧0,|a-b≧0 であるから |a|-|6|=|a-6| A-A≥0, |A|+A20 c≧0 のとき exclxlsc x≤-c, c≤x 1xc (3 ← 2 の方針 |α|-6|が負 の場合も考えられるの で、平方の差を作るには 場合分けが必要。 ini 等号成立条件 (1)は(*) から, lab=ab, すなわち, ab≧0 のとき。 よって, (2) は (4-6)620 ゆえに (a-b≧0 かつ≧0) または(a-b≦0 かつ b≦0) すなわち ab0 または abのとき。 RACTICE 29 不等式|a+b|≦|a|+|6| を利用して,次の不等式を証明せよ。 (1)|a-6≦|a|+|6| (3) la+b+cl≦la|+|0|+|cl (2)|a-cl≦|a-6|+16-c|

矢印のところどうしたらこのようになるのですか？

)=af (-6) り立つ。 こもよい。 [終 第2節式・不等式の証明 31 B 実数の平方 実数の平方について、次の性質 1.2が成り立つ。 実数の平方の性質 2 1 実数aについて 等号が成り立つのは、aのときである。 実数a,bについて a2+6220 等号が成り立つのは、a=b=0のときである。 不等式 x2+y2≧2xy を証明し, 等号が成り立つときを調べる。 【証明】 (x2+y2)-2xy=x²-2xy+y2=(x-y)20 例 13 式と証明 よって x2+y2≧2xy 10 この不等式で等号が成り立つのは,x-y=0 254ページ すなわち x=yのときである。 等号が成り立つ A 終 10 例題 次の不等式を証明せよ。 また 等号が成り立つときを調べよ。 x2+5y24x - 4 x y + 4y = q y² + 5y³ 20 15 証明 (x2+5y2)-4xy=x2-4xy+5y2=(x-2y)-(2y)+5y2 =(x-2y)2+ye (x-2y)2≧0,y2≧0であるから (x-2y)2+y^≧0 よって x2+5y24xy 等号が成り立つのは, x-2y=0 かつ y = 0, すなわち x=y=0 のときである。 終 練習 29 次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つときを調べよ。 (3) 2x2+9y2≧6xy 2:9:0 (1)x+9y2=6xyアニジ (2)(a+b)≧4ab (4) α-ab+b2≧0 labl labl It

青線の部分が分からないので教えてほしいです。

7 不等式の証明 例題 不等式の証明 (平方の差を考える) ::= 14a≧0b≧0 のとき,不等式√a+√6≧√a+6を証明せよ。また, 等号が成り立つときを調べよ。 解答 両辺の平方の差を考えると よって (√a+√6)2-(a+b)²=(a+2√ab+b)-(a+b)=2√ab≧0 (√a+√6)2≧(√a+b)2 √a+√√a +6≧0 であるから √a + √√b≥ √a+b 等号が成り立つのは, ab=0 すなわち a=0 または 6=0 のときである。

23の(1)の 「等号が成り立つのはa－b＝0すなわちa＝b」 がわかりません。a－bはどこから出てきますか？😢

: 18: 第1章 式と証明 重要例題 7 不等式の証明 (1) =不等式に含まれる文字は,特に断らない限り実数とする。 不等式 の証明 ZES 23 次の不等式を証明せよ。また,等号が成り立つのはどのよう なときか。 ただし, α > 0, 6>0 とする。 (1) 4(a+b)≧(a+b)3 (2) x2 +5x+7>0 (0) DES D (3)x2-2xy+5y2+2x+2y+20 ポイント① A>B の証明 A-B>0 を示すのが基本。 [1] A-B が2次式なら,(・・・)+(正の数) の形に変形する。 [2] A-B を因数分解し、 各因数の符号を調べる。 kes D