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(2) 微分係数の定義の式 f'(a)=1im (a+h)-f(a)が使えるように,式を変形する。
IP.296 基本事項D, 基本 12
OO0%
300
重要 例題190 関数の極限値(係数決定 微分係数利用)
基る
x+ax+6_3を満たす定数a, bの値を求めよ。
x-1
次く
(1) 等式 lim
x→1
をf(a)を用いて表せ。
る接
f(a-3h)-f(a)
(2) lim
h
h→0
(3
k
(kキ0)ならは
0
在するためには,分子x°+ax+b→0でなければならな
い(数学IIの内容)。一般に
f(x)
指針> (1) x一→1のとき, 分母x-1→0であるから,極限値が存
lim 存在せず
指査
lim q()。
=« かつ limg(x)=0 なら limf(x)=0
必要条件
x→e
→C
まず,分子 →0から, aともの関係式を導く。
次に,極限値を計算して,それが==3となる条件から,a, bの値を求める。
h
h→0
E
解答
(1) lim(x-1)=0 であるから
lim(x°+ax+b)=0
4必要条件。
x→1
x→1
IS-
ゆえに
1+a+b=0
よって
b=-a-1
の
注意 必要条件である
6=-a-1
このとき
x2+ax+b
lim
x2+ax-a-1
=lim
を代入して(極限値)=3が成
り立つようなa, bの値を求
めているから
x-1
x-1
x→1
X→I
Tx-1)(x+a+I)
=lim
x→1
=lim(x+a+1)
x-1
x→1
=a+2
a=1, 6=-2
は必要十分条件である。
a+2=3 から
a=1
のから
6=-2
(2) h→0のとき, -3h→0であるから
f(a-3h)-f(a)
lim
fla+(-3h)}-f(a)
=lim
f(a+口)-f(a)
h→0
h→0
h
h→0
=f(a) (-3)
=-3f(a)
別解 -3h=tとおくと, h→0のときt→0であるから
f(att)-f(a)
=S(a)
ロは同じ式で、
h→0のときロー
ロの部分を同じものにする
ために,
.(-3) |している。h→0のとき
(与式)=lim
f(a+t)-f(a)
のような変形を
=lim
t→0
t→0
3h→0だからといって,
(与式)=f(a)としては誤
3
十
=-3f"(a)
り!
こ
