例題
117 放物線y=x2 , 点 (2, 5) を通る直線で囲まれた部分の面積Sを
最小にするような直線の方程式を求めよ。
解答 x軸に垂直な直線は適さないから, 求める直線の方程式はy=m(x-2)+5
とおける
放物線とこの直線の交点のx座標は, 方程式
x2=m(x-2)+5
すなわち
の実数解である。 方程式 ① の判別式をDとすると
D=(-m)²-4(2m-5)=m²-8m+20= (m-4)²+4>0
よって, 方程式 ① は異なる2つの実数解をもつ。
その実数解をα, β (a <β) とすると
S=S(m(x-2)+5-x}dx
=-(x-a)(x-B)dx=1/12 (B-α)
m+√D m-√D
2
x-mx+2m-5=0...... ①
また、B-a=m+y
S=
-=√D であるから
s=(VD)=(√(-4)²+4)
RTIII
y₁y=r
(2, 5)
0
8₂
B
したがって, Sはm=4 のとき最小となる。
このとき, 直線の方程式は y=4(x-2)+5 すなわち y=4x-3 圏