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第1章 数列
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B 等式の証明
例題 数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明せよ。
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1+2+3++......++ n = 1/1/n (n+1)
証明 この等式を (A) とする。
[1] n=1のとき
左辺 = 1,
右辺 = -/12.1•(1+1)=1
よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。
[2] n=k のとき (A) が成り立つ, すなわち
1+2+3+...+k=·
=1/21k(k+1)
が成り立つと仮定すると, n=k+1 のときの(A) の左辺は
1+2+3+…+k+(k+1)=1/21k(k+1)+(k+1)
=1/2(k+1)(k+2)
n=k+1のときの(A) の右辺は
1/12(k+1){(k+1)+1}=1/12(k+1)(k+2)
よって, n=k+1 のときも (A) が成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が成り立つ。終
練習 数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明せよ。
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(1)1+3+5+…+(2n-1)=n²
(2) 1・2+2・3+3・4+・
+n(n+1)=1/13n(n+1)(n+2)
* 例題13の等式は, 等差数列の和の公式からも導かれる (14ページを参照)。
ここでは,数学的帰納法を用いて,この等式が成り立つことを証明する。
