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基本例題 122 領域と1次式の最大 最小 (1)
x.
①①①①①
yが3つの不等式3x-5y≧-16,3x-y≦4, x+y≧0 を満たすとき,
2x+5yの最大値および最小値を求めよ。
p.194 基本事項 基本 124
指針 連立不等式を考えるときは,図示が有効である。まず,条件の不等式の表す領域 D を
図示し, f(x, y) =k とおいて,図形的に考える。
......
1 2x+5y=k ①とおく。これは、傾き1/23y切片 1/3の直線。
5
② 直線 ①が領域 D と共有点をもつようなんの値の範囲を調べる。
→ 直線 ① を平行移動させたときのy切片の最大値・最小値を求める。
3
3章
1 不等式の表で
CHART
領域と最大・最小 図示して,=kの直線 (曲線)の動きを追う
解答
与えられた連立不等式の表す
領域をDとすると, 領域 D
は3点
境界線は
①
(3,5)
(1, 1), (-2, 2), (3, 5)
を頂点とする三角形の周およ
k=31
び内部である。
(-2,2)
-3<< 31
3x-5y=-16から
16
3
y=1/2x+ 5
3x-y=4から
y=3x-4
x+y=0からy=-x
2x+5y=k
......
① とおく
(1,-1)
境界線の交点の座標を求
めておくこと。
2
k=-3
これは傾き
切片
2 k
5'
①からy=--
k
の直線を表す。
この直線が領域Dと共有点をもつようなんの値の最大
値と最小値を求めればよい。
図から,kの値は, 直線 ①が点 (3,5) を通るとき最大に直線①の傾きと,Dの
なり,点 (1, -1) を通るとき最小になる。
よって, 2x+5y は
るとき。
x=3, y=5のとき最大値 2・3+5・5=31,
境界線の傾きを比べる。
直線 ①がD の三角形の
頂点を通るときに注目。
x=1, y=-1のとき最小値 2・1+5・(-1)=-3
大阪
をとる。
検討
線形計画法
x, yがいくつかの1次不等式を満たすとき, x, yの1次式 ax + by の最大値または最小値
について考える問題を 線形計画法の問題という。 線形計画法の問題では、1次不等式の
条件を図示すると,多角形になるが, ax + by は, 多角形のどれかの頂点で最大値または最
小値をとることが多い。
練習 (1) x, y が4つの不等式x≧0,y≧0, x+2y≦6, 2x+y≦6 を満たすとき, x-yの
最大値および最小値を求めよ。
② 122
(2)x,yが連立不等式x+y ≧ 1, 2x+y=6, x+2y≦4 を満たすとき, 2x+3y の最
大値および最小値を求めよ。
