（1）の別解でどうして4Ｃ2で求めるのかが分からないです。誰か教えてください！お願いします🙇‍♀️🙇‍♀️

113 重複組合せ 00 区別のつかない球5個をA,B,C3つの箱に入れる. (1) どの箱にも少なくとも1個の球が入る方法は何通りあるか. (2) 1個も入っていない箱があってもよいとすれば,何通りの方 法があるか.

(１)なんで7個の丸なんですか

この n 基本例題 29 整数解の組の個数 (重複組合せ (1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組(x,y, z) は何個あるか。 (2) x+y+z=6 を満たす正の整数解の組(x,y,z) は何個あるか。 CHART O OLUTION S ○と仕切りの活用 ・・・・・・! (1)x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組(x,y,z) は,7個の○と2個の 仕切りの順列を考え,仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から 順に x,y,z とすると得られる。 例えば 000 100 100 K 100 100000 (x, y, z)=(3, 2, 2) (x, y, z)=(0, 2, 5) がそれぞれ対応する。 (2)正の整数解であるから, x,y,zは1以上となる。 そこで,x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおき, 0 であってもよい X≧0, Y≧0, Z≧0 の整数解 の場合 ((1) と同じ)に帰着させる。 これは, 6個の○のうち、 まず1個ずつを x, y, zに割り振ってから、 残った3個の○と2個の仕切りを並べることと同じ である。 解答 (1) 求める整数解の組の個数は7個の○と2個のを1列に 並べる順列の総数と同じで lp.267 基本事項 3. 基本 28 9C7=9C2=- -=36 (個) 9.8 2･1 別解求める整数解の組の個数は,3種類の文字 x,y,z から 重複を許して7個取る組合せの総数に等しいから 3H7=3+7-1C7 = "C7=9C2=36 (個) (2) x≥1, y≥1, z≥14²³5 x-1≧0, y-1≧0, ²-1≧0 ここで,x-1=X,y-1=Y, z-1=Z とおくと X+Y+Z=6-3=3 よって 求める正の整数解の組の個数は, 3個の○と2個の |を1列に並べる順列の総数と同じで 5.4 別解 〇を6個並べる。 求める正の整数解の組の個数は,○と 5C3=5C2= =10 (個) 2.1 〇の間5か所から2つを選んで仕切りを入れる方法の総数 と等しいから 5C210 (個) D. 3つの部分に分けるには, 3-12 (個) の仕切り 必要 9! 2!7! でもよい。 B3H3=3+3-1C3 =5C3=5C₂ =10 (個) ◆仕切り | は, 両端に入れ ることはできない。 277 1章 3

至急お願いします🙇‍♀️ 数Aで、写真の赤いマーカー引いてる問題です。 解説の①の式たちはかろうじて理解できたのですが、どうして6個から3個とる重複組み合わせになるのか教えて頂きたいです！

一次の条件を満たす整数の組(a1, a2, A3, a4, α5) の個数を求めよ。 (2) 0≤a₁≤a2≤a3≤A4≤A5≤3 1) 0<a₁<a₂<a3<a4<a5<9 3) a+a+as+a+as≦3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5) S 指針 (1) a1,a2,….……., as はすべて異なるから, 1,2, 個を選び, 小さい順に α1, a2, -> ........ 求める個数は組合せ C5 に一致する。 (2) (1) とは違って, 条件の式に≦を含むから, 0, 123の4個の数字から重複を許 して5個を選び, 小さい順に a1, az, α5 を対応させればよい。 求める個数は重複組合せ4H5 に一致する。 (3) おき換えを利用すると, 不等式の条件を等式の条件に変更できる。 3-(a+a2+as+α+α5)=6とおくと a1+a2+a3+ax+a+b=3 ← 等式 また a1+a2+ax+a+as≦3から 6≥0 よって、 基本例題 33 (1) と同様にして求められる。 ......... α5 を対応させればよい。 .......... に〇があると (1) 1,2, ******, 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小検討 さい順に a1,a2,......., as とすると,条件を満たす組が 1つ決まる。 29002 字 5桁の敷 e8C5=gC3=56 (個) 1) よって, 求める組の個数は (2) 0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小さい順に a1,a2, ......, as とすると, 条件を満たす組 が1つ決まる。 よって, 求める組の個数は 4H5=4+5-1C5=8C5=56 (個) marks (3) 3-(a+az+as+α4+α5)=b とおくと+++ a+a2+ax+a+as+b=3, 0≤Y ..... D 6200 20 =Co+5C1+6C2+C3 =1+5+15+35=56(個) 8の8個の数字から異なる 5 a≧0 (i=1, 2,3,4,5),6≧0 よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の 組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取 る重複組合せの総数に等しく OQ 6H3=6+3-1C3=gC3=56 (個) WIRT a+a2+ax+ax+a5=k(R= 0, 1,2,3) たす 0 以上の整数の組(a1,a2,a3, a, α5) の数は 5Hkであ 5 Ho+5Hｭ+5H2+5H3 るから 基本 32,33 (2)(3) は次のようにして 解くこともできる。 (2) [p.384 PLUS ONE の方法の利用] bi=ai+i(i=1, 2,3, 4, 5) とすると、条件は 0<b₁<b₂<b3<b<b<9 (1) の結果から 56個 と同値になる。 よって (3) 3個の○と5個の仕 切りを並べ,例えば, |〇|〇〇|| の場 合は (0, 1,020 ) を表すと考える。 このとき A|B|C|D|E|F とすると, A,B,C, D, E の部分に入る ○ の数をそれぞれ a2, a3, as, as とすれば, 組が1つ決まるから

基礎問題精講1Aの113です。 x=x'-1やx=x'+1などとおくやり方の考え方がわからないので、なぜこのようにおくのか教えて頂きたいです。

113 重複組合せ 区別のつかない球5個を A.B. C 3つの箱に入れる. (1) どの箱にも少なくとも1個の球が入る方法は何通りあるか. (2) 1個も入っていない箱があってもよいとすれば,何通りの方 法があるか.

場合の数です。解説、別解どちらを読んでもよく分からないので教えてください🙇‍♀️

基礎問 186 第6章 順列・組合せ 113 重複組合せ 区別のつかない球5個をA,B,C3つの箱に入れる。 どの箱にも少なくとも1個の球が入る方法は何通りあるか､ (2) 1個も入っていない箱があってもよいとすれば、 何通りの方 法があるか. 精講 A,B,Cの箱に, それぞれ個, y個 2個入るとすると, (1),(2)は,それ ぞれ,次の方程式の解 (x,y,z) の組の数を求めることと同じになります。 (1)x+y+z=5 (x≧1,y≧1, z≧1) (2)x+y+z=5 (x≧0 y≧0, z≧0) 解答では,まず拾い上げてみて, あとで計算による解法を考えてみましょう。 解答 A,B,Cの箱にそれぞれ, x個, y個, z個入るとする. (1) x+y+z=5 (x≥1, y≥1, z≥1) x = 1,2,3 だから, (x,y,z) の組は次表のようになる. IC 1 1 2 2 3 2 3 2 (2) x+y+z=5 (x≥0, y≥0, z≥0) 1万円札が5枚あるとき (これらは区別がつきません),どの1万円 札がほしいという人はいません。 何枚ほしいというはずです.だか ら,区別がつかない球のときは個数で考えます. y 2 2 1 1 3 1 2 1 よって6通り 1 2 1 1 基準をもって数え上 げる IC 0 0 0 0 0 0 1 1 1 112222 3 3 3 4 4 5 y 012345 012340 1 2 3 0 120 10 543210432103 210 210100 よって 21通り 注 この問題のように, 変数に関して条件が同じ (このことをx,y,z は対称性があるといいます) であれば、次のように大小を仮定して数 えて,あとで並べ方を考える方がラクです.

数学得意な方お願いします。 場合の数の問題です。 恥ずかしながら重複順列/組み合わせの区別が苦手で、図は理解できますが、未だなぜn乗が使えないのかわかりません。 どなたか教えてくださると大変助かります。

5 10 研究 15 3個の文字 a, b, c から 同じものを繰り返し使うことを許して 7個とるときの組合せの総数を求めてみよう。 たとえば, a を4個, bを2個, cを1個とった場合の組合せを, abbc のように, a,b,c の順に並べて表すことにする。 この組合せは, ALTRUI 7個の○に2個の仕切りを入れて3つの部分に分け。 a a a a 重複組合せ ooooo00-000010010➡a のように、第1のの左に a, 第1と第2の の間に b 第2の|の右にcを配置したもの と表すことができる。 このようにすると. b a a a a (b) (b) セリ bb b 35 a aa bb c も OO 1000 100 000110000 1OOOOOOO I 場合の数とミ のように,組合せの1つ1つが,7個の○と2個のを1列に並べた に対応することになる。 よって、求める組合せの総数は,○とを合わせた 9個の場所から ○を入れる7個の場所を選ぶ方法の総数に等しく, 料 C =36 (通り) 8個選

なぜ10個のマルとして考えるのですか？

考え方 解 ocus 練習 193 例題 193 整数解の個数 次の式を満たす整数解の組は何通りあるか. (1) x+y+z=10 (x≧0、y≧0,z≧0) (2)x+y+z=10 (x≧1,y≧1,z≧1) (3) x+y+z≦10 (x≧0,y0,z≧0) (1) x,y,zは整数なので, 10個の○をx,y,zに分けると考えれば,x,y,zを合 わせて10個選ぶ重複組合せと同じ.10個の○と2個の(仕切り)で考える. (2) x,y,zは1以上の整数(つまり自然数) である。 そこで,まず10個の○の中から,それぞれを1個ずつx,y,zに与える. 次に残りの7個は, x, y, z を合わせて7個選ぶ重複組合せを考える. たとえば, x=3, y=5, z=2 の場合は次のようになる. y え ○← 最初に1個ずつ選んでおく. 〇〇|〇〇〇〇|〇 (3) 不等式であるが, 方程式におき換えて考える. 10-(x+y+z)=u とすると, 与えられた不等式は, として考えることができる. たとえば, x=2, y=3, z=1の場合は次のようになる. x y zu (1) 10個の○と2個の 3組合せ **** 7個の○と2個(仕切り)で考える. 0010001010000 x+y+z≦10 より, u≧0 であるから, x+y+z+u = 10 (x≥0, y≥0, z≥0, u≥0) x,y,zに分けた残りはひに与えると考える. の合計12個の並べ方を考えて 12C10=12C2=66 (通り) (2) 10 個の○のうち, x, y, zにまず1個ずつとっておき, 残りの7個をx,y,zで分ければよい。つまり, 7個の○ と2個のの合計9個の並べ方を考えて =gC2=36 (通り) (3) 10-(x+y+z)=u とおくと, u≥0 x+y+z+u=10 (x≧0、y≧0,z≧0,u≧0) と考えて, 10個の○と3個のの合計13個の並べ方を考 13C10=13C3=286 (通り) 001000100000 のとき, x=2, y=3, z=5 001000010 のとき, x=2+1=3 y=4+1=5 |z=1+1=2 x+y+z≦10 より, u≥0 |x,y,zに分けて 残りをuに与えれば, x+y+z≦10 の 不等式が成り立つ. 整数解の個数は,重複組合せで考える 注 (3)は,x+y+z= (k=0, 1,.... 10) のときに場合分けして考えることもで きる. 次の式を満たす整数解の組は何通りあるか. (1) x+y+z+u=10 (r≥1, y≥1, z≥1, u≥1) (2) x+y+z+u≤10 (x≥0, y≥0, z≥0, u≥0) A p.34732 341 個数の処理

【重複組合せ】(1) 少なくとも1個の球が入る必要があるので、まず最初にABCにそれぞれ1個球を入れて、残った2個は各3通りあるので2^3＝8(通り)としたのですが、どこら辺が間違えていますでしょうか？ 教えてください。よろしくお願いします。

PJ 113 重複組合せ 区別のつかない球5個をA,B,C 3つの箱に入れる. (1) どの箱にも少なくとも1個の球が入る方法は何通りあるか、 (2) 1個も入っていない箱があってもよいとすれば、何通りの方 法があるか. 1万円札が5枚あるとき (これらは区別がつきません) どの1万円 札がほしいという人はいません。 何枚ほしいというはずです. だか ら,区別がつかない球のときは個数で考えます。 A,B,Cの箱に,それぞれ個, y個,2個入るとすると, (1), (2)は,それ ぞれ,次の方程式の解 (x, y, z) の組の数を求めることと同じになります。 (1) x+y+z=5 (x≥1, y≥1, z≥1) 精講

別解を記述式に書き直したのですが、この記述で満点もらえるでしょうか？どこか不備はありますでしょうか？

基礎問 186 113 重複組合せ 区別のつかない球5個を A, B, C 3つの箱に入れる. (1) どの箱にも少なくとも1個の球が入る方法は何通りあるか. (2) 1個も入っていない箱があってもよいとすれば,何通りの方 法があるか. 精講 A,B,Cの箱に,それぞれ個, y個,2個入るとすると, (1),(2)は,それ ぞれ,次の方程式の解 (x,y,z) の組の数を求めることと同じになります。 (1) x+y+z=5 (x≧1,y≧1,2≧1 ) (2)x+y+z=5 (x≧0、y≧0,z≧0 ) 解答では,まず拾い上げてみて, あとで計算による解法を考えてみましょう. (2) 解答 A, B, Cの箱にそれぞれ, x個, y 個,2個入るとする. (1)x+y+z=5 (x≧1, y≧1, z≧1) x=1, 2,3 だから, (x,y,z) の組は次表のようになる. xC 第6章 順列・組合せ y 20 IC 8 1万円札が5枚あるとき (これらは区別がつきません),どの1万円 札がほしいという人はいません。 何枚ほしいというはずです。だか ら,区別がつかない球のときは個数で考えます。 y 1 1 1 2 2 3 1 2 3 2 1 2 1 1 3 1 2 1 よって, 6通り 98 基準をもって数 え上げる x+y+z=5 (x≥0, y≥0, z≥0) 0 0 0 0 0 0 11111 2 22 2 3 3 3 4 4 5 20123450123401230 12010 5 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 3 210 210 100 2 よって 21 通り 注 この問題のように,変数に関して条件が同じ(このことをx,y,z は対称性があるといいます) であれば,次のように大小を仮定して数 えて,あとで並べ方を考える方がラクです.

解説の解き方を図化？してくれませんか…？ よく分からないので教えてください

31 袋の中に赤玉、青玉,白玉, 黒玉がたくさん入っている。 for sas 重複組合せ / この袋から7個の玉を取り出すとき, 玉の取り出し方は何通り あるか。 TVO ポイント ① 異なるn個から重複を許してr個取る組合せの総数は,個の ○と (n-1) 個の|の順列の総数 n+r-1 Cy に等しい。 One o COK'N