2XをXだと思って解くやり方(ノート)がなぜ使えないのか分かりません🙇🏻‍♀️

可 !! CONNECT 10 対数微分法 次の関数を微分せよ。 y=x2x (x>0) 考え方 今まで学んできた公式を用いて微分することができない関数である。そこで, 対数微分法を用いることを考える。 定義域がx>0であるから,y>0であるこ とに注意する。 解答 x>0であるから x²x>0 logy=2xlogx 両辺の自然対数をとると 両辺の関数をxで微分すると よって y=2(logx+1)x2=2x2 (10gx+1) x =210gx+2x1=2(logx+1) y

解説で|→のような記号は何を表しているのか分からないので教えて頂きたいです。

4. 逆関数についてきちんと説明しておきます。 77- 実数の区間 I で定義された関数 f の値域をJ (これも実数の部分集合) と すると,f:I→Jです.fの逆関数」とは,I∋x f(x) ∈ J の逆の対 応のことで,それをg とかくと,g:Jay → g(y)∈I で y = f(x) ⇔ x=g(y) がすべてのx∈I, y∈Jで成り立ちます.したがって, f(g(y))=y(yeJ), g(f(x))=x (x ∈I) (3) がつねに成り立ちます. 逆関数が存在するための条件はf: IJが1対 1であることで,微積分のためにはf は Iで増加関数または減少関数であ るときだけ(そのような区間だけで)を考えます. またf, gが微分可能の ときには,逆関数の導関数は③を微分すると得られます.例えば第1式をy で微分すると,合成関数の微分により f'(g(y))g(y)=1 :. g(y) = f'(g(y)) であり,f(x) = sinx,1=(-1)J=(-1,1) (それぞれ実数の開 区間) のときには sing(y) = y だから, 「のとき のとき 1 1 g'(y) = = 1 V1-12 cosg(y) V1 - sin2g(y) yをxにおきかえたものが3. 例 II (1) の答です. 逆関数は②により定義されるもので, ひらたくいえばy=f(x) を x につ いて解いたものです. これは普通は g(y) のように y の式になりますから, 独立変数を x にするという慣習によりy を x におきかえて g(x) とします. だからy = sinx の逆関数を独立変数 x で表すと x = siny を y について解 いたものになります. また, ②からわかるようにxy平面でのy=f(x) の グラフとx=g(y) のグラフは同じです.xとyを入れかえて y = g(x) と するので,そのグラフはy=f(x)のグラフと直線y=xについて対称にな るのです.ここでは, 逆関数については②, 同じことですが③が本質である ま ことを強調しておきます. なお, f-1 という記号があるので,もちろん使ってもいいのですが、 微積 分ではまぎらわしいので避けた方がよいでしょう. 実際 sinx は sinx の 逆関数なのか sin x の逆数なのか、わからなくなってしまいます。

答えがあっているかわからないんですけど、場合分けって必要ないんですか？ これで答えはあっているんですか？💦

練習 f(x)=x+1,g(x)=|x|+1, h(x)=10gzx のとき, 次の合成関数を求 19 めよ。 (1) (gof)(x) (2) (f°g)(x) (3) (hog)(x) 20 20

あっていますか？💦

入す 練習 16 1次関数 f(x) =ax+bについて, f(3)=5, f-1(3)=2であるとき, の合成関数 定数 α, bの値を求めよ。 と書くこと

この分母の3って中微分ですか

(3) y'=(x)'·log3x+x(log 3x)' 3 =1·log3x+x• =log 3x+1 3x

練習16について答えまでの計算方法を教えてください

例 6 f(x)=x+1,g(x)=2* について, ロ (f°g)(x) を求める。 (gof) (x)=g(f(x))=g(x+1)=2x+1 (f°g)(x)=f(g(x))=f(2*)=2*+1 目標 ◆注意 一般に, (gof) (x) (f°g)(x)は同じ関数ではない。ロ 練習 f(x)=x2, g(x)=10g2(x+1)について,次の合成関数を求めよ。 16 終 (1) (gof)(x) (2) (f°g)(x) 注意 たとえばf(x)=x+2,g(x)=- 1 x-1 のとき,g(x)の定義域は x=1であるから,合成関数g(f(x)) は,f(x)=1のとき定義でき ない。しかし,f(x)=1となるxの値-1を定義域から除けば, g(f(x)) を定義できる。 1 このとき g(f(x))=g(x+2)= 1 = (x+2)-1 x+1 (x-1) である。

この問題をtanx=uの置き換えなしで解くことは出来ないのでしょうか？教えて頂きたいです。

EX ③ 130 f(x) が2回微分可能な関数のとき, d² dxf (tanx) を f (tanx), f" (tanx) を用いて表せ。 tanx=u とおくと du 1 d ゆえに 2dx de d du d dx2 du (1)=f(u) あるから、 ① = dx cos2x -f(tanx)= -f(u) ansf(tanx)=xfucos'x (土)(- -2 cos x(-sinx) 4 cos x @du f'(u)・ dx. COS2x 1 [富山大 〕 HINT tanx=uとおく du 1 と dx cos2x ←合成関数の微分 1 ・+f'(u)・ dx cos2x =f"(tanx)・ 1 cos2x • ←合成関数の微分と積の 微分。 +f'(tanx) ・ cos'x 2sinx = 6600 COS'x 1 (tank) + 2sinx f' (tanx) 1 = cosx くびしてから -f" (tanx) + cos'x d と代入してからびぶらん 注意f (tanx) f (tanx)は異なる。 例えば,f(u)=u2 とすると,f'(u)=2u dx から f'(tanx)=2tanx よって dx +(+xds+ ところが,f(u)=u²のとき 2tanx COS2 x df(tanx)=2tanx(tanx)'= -1)+(6S+xd)x f(tanx)=tan²x

数3の微分の媒介変数の問題についてです。 (1枚目問題、2枚目模範解答、3枚目自分の解答) ①は理解出来たのですが、②の解答の2行目以降が模範解答と違っており、最終的な答えも違くなってしまいました。3枚目の解き方はどこが間違っているのでしょうか？

xの関数yが, 0 を媒介変数として,x=0-sin0,y=1-cos と表されている. ① dy を 0 の関数として表せ. dx d²y ② を 0 の関数として表せ. dx2

途中式含めて教えて頂けると嬉しいです お願いしますm(_ _)m

y=cos3 (sin2x)を微分・積分する 0.01

こちらの(2)が理解できないので、詳しく教えていただきたいです！

114 き、次の関数のグラフをかけ。 関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると 重要 例題 68 定義域によって式が異なる関数 (2) 00000 f(x)= =(2x-2x (25x50) (0≦x<2) (1) y=f(x) (2)y=f(f(x)) 指針 定義域によって式が変わる関数では,変わる境目のx,yの値に着目。 (2)f(f(x)) f(x)のxに f(x) を代入した式で, 解答 0≦f(x) <2のとき 2f(x), 2f(x)4のとき ! 8-2f(x) (1)のグラフにおいて, 0≦f(x)<2となるxの範囲と, 2≦f(x)≦4となるxの範囲を見 極めて場合分けをする (1) グラフは図 (1)。 (2)f(f(x))={2}(x) (2≧f(x)≦4) (0≤f(x)<2) よって, (1) のグラフから 0≦x<1のとき f(f(x))=2f(x)=2.2x=4x 1≦x<2のとき f(f(x))=8-2f(x)=8-2・2x=8-4x 2≦x≦3のとき f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)=4x-8 3<x≦4のとき f(f(x)) =2f(x)=2(8-2x)=16-4x よって, グラフは図 (2)。 (1) YA 4 T J VA 4 O 1 2 3 4 x 0 1 2 3 4 x ■変域ごとにグラフをかく。 (1)のグラフから,f(x)の 変域は 0≦x<1のとき 0f(x)<2 1≦x≦3のとき 2≤f(x)≤4 3<x≦4のとき 0≤f(x)<2 また, 1≦x≦3のとき, f(x) の式は 基本 ① 2次 1≦x<2なら f(x)=2x 2≦x≦なら f(x)=8-2x のように, 2を境にして式 が異なるため (2) は左の解 答のような合計4通りの場 合分けが必要になってくる。 2 3 x ま 2 参考 (2) のグラフは、式の意味を考える方法でかくこともできる。 [1]f(x) が2未満なら2倍する。 YA 8から2倍を ASS 引く 4 [2]f(x) が2以上4以下なら, 8から2倍を引く。 [右図で, 黒の太細線部分が y=f(x), 赤の実線部分が 2 y=f(f(x)) のグラフである。] なお, f(f(x)) f(x) f(x) の 合成関数といい, (fof) (x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ )。 0 X 2倍する