高校生数学、分数数列の和です。 下の問題がわかりません、、。どうしてこの分数の、第k項の分母が(3k-1)(3k+2)になるか、も含めて解説してほしいです🙇‍♀️

382 基本 例題 21 分数の数列の和 00000 数列 1 1 1 2･5'58' 8・11' …の初項から第n項までの和を求めよ。 重要28 CHART & SOLUTION 分数の数列の和部分分数に分けて途中を消す 分母に着目すると,第に頃の分母は (3k-1)(3k+2) このような形の分数は 部分分数に分けて差の形にすることができる。 1 を計算すると 3k-1 3k+2 よって 3 (3k-1)(3k+2) *7 (3-1) (3k+2)=3(3k²-1-3k²+2) この式に k=1,2,…, n を代入して辺々を加えると,隣り合う項が消える。 解答 この数列の第ん項は 1 (3k-1)(3k+2) 1 k-1) 1 (3k+2)-(3k-1) = (3k-1)(3k+2) 3 (3k-1)(3k+2) (34-1-3k+2) inf. 次の式の変形はよく 利用される。 a≠b のとき 1 (k+a)(k+b) 1 (k+b)-(k+a) b-a (k+a)(k+b) 1 1 b-ak+a k+b 部分分数に分ける。 この式に k=1, 2, n を代入して,辺々を加えると 1 =- 1 1 1 1 + + + 2.5 5.8 8・11 (3n-1)(3n+2) 1/1 1 1 1 1 1 1+ + 32 5 35 8 38 11 1/1 ……+ ●=1/11/21)+(1/1)+(1/11) = 13n+2-2 - 13 (½-3n+2) = 3 2 (3n+2) n 3 3n-1 3n+2, 3n+2)} 3n-1 3n+2, 途中の 1 1 5'8'11' 3n-1 ....... - が消える。 2(3n+2) 1,2を代入して検算 しておくとよい。 基 C

丸く囲った部分をなんで3分の1でくくるのかが分かりません😭 解説動画で分母と分子の3を約分するためと言っていたけど、3分の1が無くても3K➖3Kで3は消えるし、分子1になりません？ 意味が分からないので教えて下さい😭😭

382 基本 例題 21 分数の数列の和 数列 1 1 25' 58'8·11 1 ・の初項から第n項までの和を求めよ。 0000 基 CHART & SOLUTION 分数の数列の和 部分分数に分けて途中を消す 分母に着目すると,第に項の分母は (3k-1)(3k+2) このような形の分数は部分分数に分けて差の形にすることができる。 3 2 重要 29 を a ( 1 3k-1 1 3k+2 を計算すると = (3k-1)(3k+2) よって (3-1) (3k+2)=3(3-1-3+2) この式に k=1, 2, ......, を代入して辺々を加えると、隣り合う項が消える。 解答 1 この数列の第ん項は (3k-1)(3k+2) 利用される。 if 次の式の変形はよく ) 1 (3k-1)(3k+2) 1 (3k+2)-(3k-1) 3 a≠6のとき 1 (k+a)(k+b) 33k-1 3k+2/3 b-a この式にk=1,2, 入して,辺を加えると 1 1 1 1 (k+a)(k+b) b-ak+a k+b 1 (k+b)-(k+a 1 + + + 2.5 5.8 8.11 (3n-1)(3n+2) 部分分数に分ける。 1 1 1/1 = + + 32 3 38 11 1 1 3 3n-1 3n+2 • =/(1/1)+(1/1)+(1/ 11 途中の 32 n 1.3n+2-2 3n+2/ 32(3n+2) 2(3n+2) 1/ (3n-1-3n+2)} 1 1 1 5' 8'11' 3m-」が消える。 1,2を代入して検算 しておくとよい。

分数の数列の和について質問です。 (1)では赤線部のところはkにn－1、n、を代入してるのに (2)ではkにn－2、n－1、nを代入してるのは何故ですか？

(1) 次の和を求めよ。 ただし, (2) では n≧2 とする。 1 n 2 (2) k=1vk+2+√k+1 k=i(k+1)(+3) CHART & SOLUTION 分数の数列の和差の形を作り途中を消す 分母の有理化, 部分分数に分解を利用 (1) 第項の分母を有理化して差の形を作る。 (2) 第k項を部分分数に分ける。 解答 (1) 1 ⑩√k + 2 + √ +1 √k+2-√k+1 基本21 (√k+2+√k+1)(√k+2-√k+1) 第項の分母を有理化 する。 √k+2-√k+1 = =√k+2-√k+1 分母は (k+2)-(k+1) であるから n 1 n 8+(F- √k+2+√k+1 = Ž (√k+2−√k+1) k=11 k=1 =(√3-√2)+(4-3)+(√3-√4) =√n+2-√2 (√k+2)-(vk+1)^ =(k+2)-(k+1) +....+(n+1)+(√n+2-yn+1)第(n-1)項は √n+1-√n 2 (2) = 11 (k+1)(k+3) k+1 k+3 n≧2のとき n 2 k=1 (k+1)(k+3) であるから n 1 = k=1k+1 k+3 1 =(1/1)+(1/3)+(1/1) = 6 n+2. n+1 n+3/ + .......+ n+1 12 1 1 1 + n(5n+13) -3 n+2 n+3 6(n+2)(n+3) る。 第項を部分分数に分け と変形。 (k+3)-(k+1) (k+1)(k+3) 消し合う項がはなれて いることに注意。

赤い丸で示した部分が2分の1になる理由が分かりません😭

0 税別 RM 1-3 基本 1 25 分数の数列の和・・・ 部分分数に分解 3・5' 5・7'' (2n-1)(2n+1) 00000 447 の和を求めよ。 CHART 分数の数列の和 部分分数に分解して途中を消す k=1 項をkの式で表しΣ(第k項) を計算する, という今までの方針では解決できそ うにない。ここでは,各項は分数で、分母は積の形になっていることに注目し、第 を差の形に表すことを考える。 この変形を部分分数に分解するという。 1 1 を計算すると 2 = 2k-1 2k+1 (2k-1)(2k+1) 1 よって 2 この式にk=1, 2, ......, nを代入して辺々を加えると、隣り合う項が消える。 (2k-1)(2k+1) = (2k-1-2²+1) R ③ 3種々の数列 p.439 基本事項 基本 39 1 この数列の第ん項は の2次式) 答 (2k-1)(2k+1) 2 1 (2k+1)-(2k-1) (2k-1)(2k+1) 13 部分分数に分解する。 求める和をSとすると 22k-1-2k+1) S=(-)+(-)+(\)+- 1 - 2n² + 1 )} + (2カー 2n+ 2n-1 (4)=1/12 (1-27+1)=2+1 XI+4) (k+1)(k+2 (+) 部分分数分解 途中が消えて、最初と最 後だけが残る。 b-a から得られる次の変形はよく利用され 1 = k+a k+b (k+b)-(k+a) (k+a)(k+b) ある。しっかりと理解しておきたい。 (k+a)(k+b) 1 1 = 1 1 (a+b) k+b (k+α)(k+b) b-akta

数列の問題で第k項を求める機会は多々あると思うのですが、写真のように色々な出し方があっていつどの出し方をすればいいのですか？

基本 例 26 分数の数列の和の応用 00000 次の数列の和Sを求めよ。 1 1 1・2・3' 2・3・4'3・4・5' D |指針 解答 [類 一橋大 ] n(n+1)(n+2) 1 n+√n+2 (n≧2) 基本25 ②で作った式にk=1,2,3,..., n を代入 1+√3 √2+√4'√3+√5 ① 第k項を差の形で表す。 3辺々を加えると、隣り合う項が消える。 (1)基本例題 25 と方針は同じ。 まず,第k項を部分分数に分解する。 分母の因数が 3つのときは、解答のように2つずつ組み合わせる。 を計算すると k(k+1) (k+1)(k+2) 1 よって = k(k+1)(k+2) 2lk(k+1) 2 k(k+1)(k+2) (k+1)(k+2) (2) 第k項の分母を有理化すると, 差の形で表される。 (1)項は 2)) 部分分数に分解する。 +1(+2)=1/21s(k+1) (+1)(k+2) であるから 6=1/11(1/122/2)+(2/13)+(3/12/15) 1 2・3 3・4 (n+1)(n+2) +{(n+1)(n+1) (n+2)}] = {1-2 (n+1) (n+2)} 21-2 (n+1)(n+2) _1 (n+1)(n+2)-2 n(n+3) = 22(n+1)(n+2) 4(n+1)(n+2) (2)第ん項は √k-√k+2 k+√k+2 (k+√k+2) (√k-vk+2 ) 1/12 (√k+2-√k) であるから S=1/2((-1)+(VL-√/2)+(V-V) ......+(√n+1-n-1)+(n+2) =1/12 (√n+I+vn+2-1-√2) 途中が消えて、最初と最後 だけが残る。 検討 次の変形はよく利用される。 1 (k+1)(k+2) 1 == {k(k+1) ¯¯ (k+1)(k+2) 分母の有理化。 途中の±√3+√4. ±√√5, √n-1 √が消える。

なぜn群のすべての和を求めるときに÷nをしているのでしょうか

54 正 30 群数列の応用 1 2 3 4 5 9 78 6 10 11 ' 1'2 2 3 3 3 00000 4'4'4'5 の分数の数列について 初項から第210項までの和を求めよ。 [類 東北学院大 ] 指針 分母が変わるところで区切りを入れて,群数列として考える。 分母: 1|22|3,3, 34, 4, 4, 45, 1個 2個 3個 4個 第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。 分子: 12,34, 5, 67, 8, 9, 10 | 11, 基本29 分子は,初項 1, 公差1の等差数列である。 すなわち, もとの数列の項数と分子 は等しい。 まず第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。 解答 分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。 2 34 5 6 7 8 9 10|11 2'23'3' 34'4'4'4 Tal 第1群から第n群までの項数は 1 1+2+3+…………+n=1n(n+1) 2 第210項が第n群に含まれるとすると (n-1)n<210≤n(n+1) よって (n-1)n<420≦n(n+1) ① もとの数列の第項は 分子がんである。また, 第ん群は分母がんで, k 個の数を含む。 これから,第n群の最後 の数の分子は n(n+1) (n-1)n は単調に増加し, 19・20=380,20・21=420 である から, ①を満たす自然数n は n=20 また,第210項は分母が 20である分数のうちで最後の数 である。ここで,第n群に含まれるすべての数の和は +-12-16(-1)+1)+(-1))+ = n(n²+1) + n = n²+1 ゆえに, 求める和は k=1 k2+1 =1445 20 \k=1 2 ･・20・21=210 は第n群の数の分 子の和等差数列の和 +1)=(20-21-41 n(2a+ (n-1)d) 6 + 20 )

数Bの質問です！ < >のところの計算式を教えてほしいです！！ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

応用 テーマ 21 分数の数列の和 (差の形) 1 1 1 1 70 S= + + + + 1・5 9・13 5.9 (4n-3)(4n+1) を求めよ。 1 1 1 1 考え方 恒等式 (4k-3)(4k+1) = 解答 + 4\4k-3 4k+1 (一)+(1) イ -(1-4) (n+1)-1 n 4n+1 4 = 4n+1 An-3 途中が消える。 答 - を利用する。 1/ +・ + 1 4n+1)

(2)ではなぜn≧2なのですか？

488 重要 例題 100 分数の数列の和の応用 (1)/k+2+vk+1 次の和を求めよ。ただし, (2) ではn≧2 とする。 1 0000 n 2 (2) Σ k=1 (k+1)(k+3) 基本 95 (1) CHART O 解答 OLUTION 分数の数列の和差の形を作り途中を消す 分母の有理化、部分分数に分解を利用・・・・・・ (1) 第k項の分母を有理化して差の形を作る。 (2)第ん項を部分分数に分ける。 1 vk+2+√k+1 √k+2-√k+1 (√k+2+√k+1)(√k+2−√k+1) √k+2-√k+1 =√k+2-√k+1 (k+2)-(k+1) 1 (D n —² √ √k + 2 + √k + 1 = ²² (√k + 2 −√k+1) k=1 1 k=1 (2)+(2)+(-) ◆第ん項の分母を有 する。 分母は (vk+2)-(k+1 =(k+2)-(k+1) …+(n+1)+(√n+2-yn+1)第 (n-1)項は =√2-√2 であるから __1 (2) (12/ であるから (k+1)(k+3)k+1 k+3 n≧2 のとき n k=1 あると (k+1)(k+3)=(k+1kg) =(1/2)+(1/2)+(1/ ......+ 6 + n+1, n+2) +2)+(1 1 n+3 = n+2 1+ 13 + 12 n(5n+13) n+3_6(n+2)(n+3) PRACTICE... 100 ③ 第項を部分分数 る。 (k+3)-(k+1) (k+1)(k+3) ◆消し合う項が いることに注

(2)なんですけど、解説のS=の式のところで、なぜ√n+1と√n+2が残るのかわかりません。

8 基本例 26 分数の数列の和の応用 次の数列の和S を求めよ。 1 1 000 1 1 1 (1) 1-2-3 2-3-4 3-4-5* 1 (2) 指針 1+√3 √2+√4 √3+√5 9 ① 第k項を差の形で表す。 n(n+1)(n+2) 1 √n + √n+2 (n≥2) 2で作った式にk=1, 2, 3, n [3] 辺々を加えると、隣り合う項が消える。 (1) 基本例題 25 と方針は同じ。 まず, 第k項を部分分数に分解する。 分母 3つのときは、解答のように2つずつ組み合わせる。 1 k(k+1) よって 1 (k+1)(k+2) 2 を計算すると = k(k+1)(k+2) == 1 *(k+1)(k+2) = {k(k+1) ¯ (k+1)(k+2)) (2)第項の分母を有理化すると,差の形で表される。 k(k+1) - (k+1)(k+2)} (1) 第項は 1 解答 k(k+1)(k+2) 1/1(+1) であるから s = ½ -|(1½-2 − 2 - 3 ) + ( 2 - 3 − 3-4)+(3-4-3-3) S=(-2- = ++ 部分分数に 途中が消え 4.5/ だけが残る +(n+1)(n+1)(n+2)}}( 12/11/12(n+1)(x+2)} 1 (n+1)(n+2)-2 n(n+3) 22(n+1)(n+2) (2)第ん項は 1 = 検討 次の変形はよ 1 k(k+1)( 1 4(n+1)(n+2)/2/16 (6) √k-√k+2 √k+√k+2 (k+√k+2) (√k-√k+2) =1/12 (√k+2-√k)であるから S=1/2/((-1)+(2-√2)+(-) +....+(√n+1-√n-1)+(√n+2 -\n)} 2lk(k+1 分母の有 NK-JK2 Jet Jez 途中の ±√5, = 1/12 (√n+1+√n+2-1-√2)

教えてくださった方はフォローとベストアンサーいたします。教えてください！

H 4.5 5.8 8・11 98 1 *(3) 2 [10 立教 (3n-1)(3n+2) [22 愛媛 [19 京都産 n = 1 √n + 2 + √n d a t d * 2-1 (2k-1) k=1 ++ いろいろな数列の和 (2) 分数の数列の和 ← 部分分数に分解する。