;yがx+y=1を満たすとき, 3x2+2xy+y2 の最大値はア
例題 159
□である。
1文字を消去,実数解条件を利用する方針ではうまくいかない。 そこで、条件式
rty=1は, 原点を中心とする半径1の円を表すことに着目する。
これを3x+2xy+y2に代入すると, sin0, cos0 の2次の同次式となる。 よって,後は
点(x,y) は単位円上にあるから, x=cose, y = sin0 とおける (検討参照)。
20 に直して合成の方針で進める。
前ページの基本例題158 と同様に,
Shawns
ことができる。
+2xy+y2 とすると
p=3cos20+2cososino+sino
y=1であるから, x=cos0, y = sin0 (0≦0<2π) とおく | <条件式がx+y2=² の形
1
のときの最大最小問題で
は、 左のようにおくと,比
較的らくに解答できること
もあるので、 試してみると
よい｡
1+ cos 20
= 3.
最小
1-cos 20
2
3.
2 + sin20+
sin 20+ cos 20+2= √2 sin(20+)+2
π
のとき2044 であるから
-1≤sin (20+4)=1
-√2+2= √2 sin (20+) + 2 = √2 +2
よってPの最大値は 2+√2, 最小値は2-√2である。
最小値
|基本 158
y=rsin0
三角関数の合成。
円の媒介変数表示
一般に、原点を中心とする半径rの円x2+y2=2 上の点をP(x,y)と
OPの表す角を0とすると
x=rcos 0,
これを円の媒介変数表示という (数学ⅢIの内容)。
5
Pが最大となるのは, sin (20+4)=1の場合であり,このとき 2014/12/12 12/27 201
π
すなわちコ T 9
πである。 これから、半角の公式と0+πの公式を用いて,最大値を
8
与える x,yの値が求められる(下の練習 159 参照)。
8
249
VA
rsin r _P(x,y)
-0
Ox
rcos
[学習院大 ]
159 大値を与える点Pの座標を求めよ。
平面上の点P(x,y) が単位円周上を動くとき, 15x2+10xy-9y2 の最大値と,最
p.254 EX103
14 24 三角関数の合成
4章
27
