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X
重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定
0000
多項式f(x)はすべての実数xについてf(x+1)-f(x)=2x を満たし、
であるという。 このとき, f(x) を求めよ。
f(0)
指針 例えば,f(x) が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+cとおいて進めること
できるが,この問題ではf(x) が何次式か不明である。
....
f(x)はn次式であるとして,f(x)=ax"+bx-1+(a≠0, n≧1) とおい
進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺 2x と比較する
とで次数nと係数 αを求める。
なお,f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。
基
2
3
f(x)=c(cは定数) とすると, f (0)=1から
f(x)=1
この場合
れないため、別に考え
いる。
解答
これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから、不適。
よって, f(x)=ax+bxn-1+...... (a≠0, n≧1) (*) とす
ると
f(x+1)-f(x)
I+
=a(x+1)"+6(x+1)"'+…………..-
·−(ax+bx^-1+......)
=anx-1+g(x)
ただし, g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。
f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから, 最
高次の項を比較して
①から
n-1=1 ・①,
n=2
an=2..
②
ゆえに、②から
a=1
このとき,f(x)=x2+bx+c と表される。
f(0)=1から c=1
(x+1)^
=x"+"Cix-1+C24
のうち,
a(x+1)"+ax"の影
次の項は anx"で、
りの項は2次以下
なる。
anx1と2.xの次数と
係数を比較。
またf(x+1)-f(x)=(x+1)+6(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが、
よって
=2x+6+1
2x+6+1=2x
この等式はxについての恒等式であるから
すなわち
b=-1
したがって
f(x)=x-x+1
結果は同じ
b+1=0
係数比較法。
POINT 次数が不明の多項式は, n次と仮定して進めるのも有効
