X3
RAD
EX
Ⓒ210
eos
a>0 に対し, f(a)=lim Slax+xlogxdx とおくとき、次の問いに答えよ。 必要ならば、
limt"logt=0(n=1, 2, ......) を用いてよい。
(11) f(α) を求めよ。
aが正の実数全体を動くとき, f(a) の最小値とそのときのαの値を求めよ。
(1) g(x)=ax+xlogx 3
よって
0<xÉe-@D} =
g(x)=0
x≧ea のとき
g(x)=0
また、a>0のとき,0<e- <1である。
t→+0のときを考えるからtを十分小さくとると
S₁\g(x)\dx=S¢{-g(x)}dx+S₂_9(x)dx
== Sg(x)dx=(ax+xlogx)dx
g(x)=x(logx+a)
⑩ しんすう
dx
a
-logx-
-2x²+² 108x-S².1 x |---T
=
=
t→+0
1
じょうけん より
1x²(a+logx)——x²+C
4
-x²(2logx+2a-1)+C (CK)
よって, G(x)=112x2(210gx+2a-1) とすると
-a
S₁lg(x) dx = [-G(x)] + [G(x)]
=G(t)+G(1)−2G(e¯a)
0-1 mil
Mita
t→+0
ここで, lim t210gt=0であるから
したがって
ƒ(a)=lim {G(t)+G(1)—2G(e¯ª)}=G(1)-2G(e-ª)
lim G(t)=0
t→+0
1
- (20-1)-2-e-(-1)= 0 ² ² + ² ² - 1
=
-2a
a
4
4
2
2
[埼玉大〕
logx+a=0232
log x=-a
よってx=e-a
S (s)
←部分積分法。
|xlogxdx=f( r logxd
←G(t)=1/²1
N'S
←=-G(e¯a)+G(t)
(E+G(1)-G(e¯ª)
- t²logt
+1/t³²(2a−1)
←ƒ(a)
= Slax+xlogx|dx (N)
