問 4.2回微分可能で2階導関数f"(z) が連続な関数全体の集合をC2(R) とす
る。(ただしょは実数とする。)C(R) は通常の関数の和と実数倍でベクトル
空間となる。
W={f(z) € C°(R)|f"(x) - 3f (x) +2f(z) = 0}
を考える。
(1) e", e2 はWの元であって一次独立であることを示せ。
(2) f(z) e Wのとき、行列
e2r f(x)
A=| (e")(e2r)' f'(x)
e"
を簡約化した行列Bを求め、rank(A) を求めよ。また、簡約化した行列Bの
すべての成分はェによらない定数であることを示せ。
(3) f(z) e W に対して、丸,tな,ts E Rを変数とする方程式、
te" + tze?r + t3.f(z) = 0
を考える。この方程式に自明な解以外の解が存在することを示せ。
( e2", f(x)) は必ず1次従属となり、ある定数山, de €
4) f(z) E Wを取ると(e",
Rを用いてf(z) = dje" + dze?e と表せることを示せ。
(注)この事実は2階線形微分方程式の解法に使われる。