線形代数の行列の問題です。 自分で取り組んで見ましたが、解答が出てこなくて、行き詰まってしまったので解ける方いたらお願いします。

課題1.複素数を成分とするn次の列ベクトル全体のなす集合を, C" であらわす: a1 C? a1,.……, An EC an このとき,次の性質をみたす列ベクトルの集合 {aj,, an}を一つ与えよ: 1. {ai,…,an}の1次結合cia」 + + Cran が零べクトルとなる必要十分条件は,Ci =…= Cn =0とな ることである。 2.任意の列ベクトルbeC" に対して,複素数 c1, , Cnであってb=ciaj + + Cnan をみたすものが 存在する。

複素数の問題です。 全て解いてほしいです。 特に問題4の解説をよろしくお願いします。

問 ■複素平面と極形式 題 複素数zは:=Rez+ i Imz と書くことができ、実部 Re z をx座標、虚部 Im:をy座標に見立てることで、 ガ ウ こを2次元平面上の1点として捉えることができる。この平面を複素(数)平面ないしGauss 平面と呼ぶ。 一方、ある複素数zを、二つの実数r,e(ただしr>0に制限す る)を用いて Im ミ=ree という形で表わしたものを:の極形式表示と呼ぶ。e の逆数は -1 Im:=rin 1 で定義する。 er Imz 問[]()r= |, tan @ = が成り立つことをそれぞれ示せ。 Rez (i) 逆数の定義に基づいて (e")= e-t0 であることを示せ。 Re Rez=r このようにこの絶対値であるrは複素平面における原点(0+ 0i) から、までの距離を表わし、0は原点とこを結ぶ線分が実軸となす 角を表わす。はarg z とも書き、偏角 (argument)(物理や工学で はしばしば位相(phase))と呼ぶ。原点の周りを一周しても同じ点 に戻ってくることから、0には 2x ラジアン= 360度の整数倍の不 定性がある。また、0+0iの偏角は定義されない。 図1 複素平面。 偏角と加法定理 絶対値が1の二つの複素数 Im 21= COs # +isin @, 2= cos #,+i sin @。 を考える。ここで0,,02 は実数とする。 問 [2]() 積22 を計算し、三角関数の加法定理とオイラーの公 式を用いて極形式表示に直せ。また、同様にして商z/zz = zi の極形式表示も求めよ。(i) 21,22の複素平面における表示を図2 とする。このとき、積」みと商z/を複素平面に図示せよ。 0.5 Re -10 -0.5 0.5 21= e,22= e であったから、小間 (i) のとくに積の方の結 果から、次の基本的な指数法則が成り立つことが理解できる: 基本的な指数法則 -0.5 実数,に対してelh el = e(h+h)が成り立つ。 図2 と2の複素平面における表示。 また、小間(i) の結果から、22= e' hを掛けることで」から偏 角がだけ反時計回り方向に回り(角度が+)、2で割ることで 2」から偏角はだけ時計回り方向に回る(-)ことが納得できる。

赤で線のひいたところがわかりませ

演習問題 17 1 =2cos@ (0°<0<90°) について, 次の問いに答えよ。 (1) えは虚数であることを示せ。 (2) |2| を求めよ。 (3) 2を極形式で表せ、 ただし, 0'Sargz<180° とする. (4) 2"+をnと0で表せ。 1

(2)のaがわからないのでわかる方いたら解説していただけると幸いです

20ERとし, 2次正方行列 (50 点) cos 0 - sin A= sin 0 Cos é の対角化について考える. なお, iは虚数単位とする。 (1) 0チnm (VneZ) のとき, AのR上の固有値は存在しないことを示せ (2) 以下,0+nπ (Vn e Z) とする。 (a) AのC上の固有値を u土iw (u,ve R) と表したとき, u,v をそれぞれ0を用いて表せ. (b) Aの各固有値に対する C上の固有ベクトルを求めよ (c) AのC上の各固有値に対する固有空間の C基底を求め, C次元を求めよ (d) AがC上対角化可能かどうかを判定せよ. C上対角化可能であるならば, AをC上対角化せよ。 その際に, C上対角化を与える2次正則行列 P を明記し, 対角化の過程も記すこと.

複素数の問題です。途中式と説明もお願い致します。

複素数を使った計算をし、解答は a+bi の形で答えて下さい。 ただし、aとbは実数、iは虚数単位です。 例えば 1+i とい う解答は間違いとします。 また、例えば (k=±1, ±2, +3, ±6, ±8, ±12)などの角のときは、三角関数の値は計 算して下さい。 (4) 複素(ガウス)平面で z1=2, z2=3i とおきます。直線 z 1 z2 に垂直で-1+i を通る直線上の複素数zをすべて求めて下 さい。

0<α<π ーπ<-β<0 から-π/2<α-β/2<π/2が導かれる理由がわかりません。 解説お願いします。

0<a<π, ーπく-B<0 より, AA ーπくα-B<π TQ-B,π 2 2 2

絶対値の扱いがよく分かってなくて、写真に質問書いたので教えていただきたいです🙏

|2+aズ+ 621 3 2 2」 + O 2c になりますか'? |2|(2+ aス+b)ですか??

13⑵のやり方を教えてください。

『0.(1) 複素数平面上に3点0(0), A(-1+3i), Bがある。△OABが直角二等辺三角形となるとき, 点Bを表す複素数 2を求めよ。 (2) 複素数平面上の正方形において, 1組の隣り合った2頂点が点1と点3+3i であるとき, 他の2頂点を表す複素数 を求めよ。

この問題を教えて頂きたいです

[2] n次正方行列 Aの固有方程式 fa(t) = |tE- A| =0は, 実係数のn次方程式 である。「代数学の基本定理」 から複素数の範囲で重複を許してn個の解をもつ。 この結果を認めて, n次の対称行列 A の固有値はすべて実数となることを示せ。

複素数の問題です。

発展問題2 問2.6 複素数 (cos 0 +i sin 0)/(1 + i) の絶対値と偏角を求めよ。