（2）の解答のところで ①と書いてるとこ見て欲しいのですが、（1）より〜であるから のあとの式が理解できません。どうやってこうなったのか分からないので教えて欲しいです。

E: 24 第1章 実数と数列 13 単調数列とコーシー列 基本 例題 019 有界で単調減少する数列の極限 基本 例題 次の条件で定められる数列{an} について、以下のことを示せ。 >2として, a a1=2, an+1= = (a 2 - (n=1,2, 3, ......) この数列は正 (1) すべてのnについて 2 (3) 数列{an} は√2 に収束する。 (2) 数列{az} は単調に減少する。 指針 数列{an 数列{α 1つである。 指針 この漸化式はニュートン法(p.96 参照) によって構成され,近似値 2 束する (1)帰納的にan>0であるから,相加平均≧相乗平均の関係を利用する。 (3) はさみうちの原理を利用して, lim|an-√21=0 を示す。 72-00 2を与える計算 定理 収 解答 α>2 an+1= 解答(1)α=2>0であり、漸化式の形から,すべての自然数nについてan>0である。 よって, 相加平均と相乗平均の関係から、任意の自然数nについて 以下 よ an+ an +2)=1.2√a. 2-√2 br ano an =2√2 であるから、すべてのnについて (2) 任意の自然数nについて an+1-an= - ½ (an+2)-an-³ 2-an² 2am 2-an 2≤0 (1)より、≧2であるから ゆえに an+1-an≤0 よって, an+1≦an であるから, 数列{an} は単調に減少する。 (3) 与えられた漸化式により an+12 an2-2√/2an+2 2an (an-√2) 2 2an an-√2 (an-√√2) 参 2an (1)より,0≦- an-√√2 2an an 1 であるから 2an 2 よって anti-√2 (an-√2) S 0san-√2(1)(a-√2) lim (12) (a-√2)=0であるから 8218 liman=√2 818

影で見にくくすいません 解答のところでシャーペンで①と書いているところ見て欲しいです。 なぜ絶対値β➖絶対値bnになるのか分からないので教えて欲しいです。

x 2 数列の収束と発散 23 基本 例題 018 数列の収束とE-N論法の段階的考察 すべての自然数nに対してb,≠0 である数列{bm} が収束して, limbm=B,B≠0 n100 が に収束することを証明せよ。 本基 とする。次のことを利用して、数列{1} (i) 任意の正の実数に対して、 ある自然数 No が存在して, n≧N となるすべ ての自然数nについて,|bn-β<sが成り立つ。 (n> No) (i)ある自然数 N が存在して,n≧N となるすべての自然数nについて, |bm-B< 21/2Bが成り立つ。 (税込)(8) 指針 E-N論法で,以下により 1 B-bn |bm-B| イーモニ bn B bnB |bnB\ が十分小さくなることを示す。 (i) を用いて,分子のbm-βがいくらでも小さくなること (1) (i) を用いて、 1 bal が上に有界であること (1) 解答 n→∞のときBであるから,十分大きい自然数 N に対して,n≧N となる すべての自然数nについて、1bB 12/13が成り立つ。 このとき,n≧N ならば 131-161=10-B11/131 よって1/181<100116-1-1月では?? これとβ≠0 より ならば 1 2 < となる。 |bn| B 更に、任意の正の実数をとる。 このとき,十分大きい自然数 No に対して,n≧N となるす α6を実数とすると, 三角不等式 a+ba+b が成り立つ。 変形して |a+6|-|a|≧|6| a+b=c とすると |c|-|a|≦|c-al となる。 べての自然数nについて|bm-31<181 が成り立つ。 11. B-bnbn-BI bn Ibn B 2 ここで,N=max {No, Ni} とおくと, n≧N ならば, n≧No かつ≧N であるから以下が成り立つ。 1/1-18-01-106-81-216-812 18 ■ max {No, Ni} は,No 1312 と N1 のどちらか小さ くない方を選ぶ。 B12 B1 2 E=E ゆえに、数列{1} は 1/1 に収束する。 B 検討 この問題では「すべての自然数nに対して 6,≠0」 が仮定されていたが、その仮定を外しても 1 bn B は証明できる。 その場合、数列{6} は B0 に収束するが、途中で0になる可能性 はある。したがって,十分大きい番号nを考えて, b がBに十分近づくようにし,bm0 を保 証してから収束を議論する必要がある。

（1）について 上に有界であることは理解出来ましたが、下に有界でないことの説明が理解できません。 1－2n＜m ということは 上に有界では無いということを示していて、下に有界では無いとは言えなくないですか？

基本 例題 016 数列の、上下に有界の判定 to ma 第n項が次の式で表される数列について,上に有界、下に有界, または有界である か答えよ。 (1) 1-2n (2) (-1)" n (3) (4) 任意 n n+1 n+1 単に「有界」というときは 「上に有界かつ下に有界」 という意味である。 したがって,それぞれの数列に対し「上に有界」「下に有界」 の条件を個別に調べればよい。 n n+1 (3) では =1-1,(4)では n2 n²-1 1 = n+1 n+1 n+1 + -=n-1+ と変形する n+1 解答 (1)>0より 2n>0であるから, すべての自然数nについて よって、 数列 {1-2n} は上に有界である。 1-2n<1 30 -1-2^ また, m=1-2n とすると n=- 1-m 2 (限) よって、任意の実数に対して1mとなる自然数nをとれば 2 1-2m<m となる。 30 よって, 数列 {1-2n} は下に有界でない。 7. my 1929 R26 1-2n m m. || | (-1)" (-1)*|

この問題の答えわかる方いますか、、、 答えがあっているのか不安なので教えてください。

nを1以上の任意の整数とするとき, 12 +22 +32 +…+n²==n(n+1)(2n+1)･･･ ① が成立することを数学的 帰納法で,以下のように証明した. a〜eに当てはまる整数を答えよ (各2点). [証明] 6 (i) n=1のとき, ①の左辺は1=1, ①の右辺はx1×(1+1)x(2x1+1)=- =1/2x1×2×3=1/2x6=1となる。 従って, n=1のとき①は確かに成立する. (ii)n=k (但し,kは1以上の整数) のとき, ①が成立すると仮定する.つまり, 12 +22 +32 +... +k=12k(k+1)(2k+1), が成立すると仮定する. 以下で,この仮定のもとで, ①がn=k+1のときに成立することを示していく: 1² + 2² + 3² + ··· + k² + (k + 1)² = 1½ k (k +1 + 1)(2k + 1) + (k+1)^ 6 1 ==(k+1){k(2k+1)+a(k+1)} 6 = 6 (k+1)(2k2 + bk+α) =/1/ (k +1)(k + c)(dk+e) となり,このことは,①がn=k+1のときに成立することを意味している. 以上 (i), (i)により, nを1以上の任意の整数とするとき, 12 + 22 +32 + ...+n²=-n(n+1)(2n+1)... ①, =/m(n+1)0 が成立することが証明された.

①について、どこを見てふたつは同符号と言えますか？ また、同符号という言葉を正の符号と書くのはダメですか？？ ②について、なぜAN＜3なのにANに3を代入してるんですか？

例4 a1 = 1, an+1 = V2an+1で定義される数列{an} の極限が 存在することを証明し,その極限を求めよ. まずこの数列が単調数列であることを示す. 定義により, An+1 - an = √2an +1 V2an-1 +1 (2an+1) - (2an-1 + 1) = V2an + 1 + V2an-1 +1 2(an - an-1) = V2an + 1 + V2an-1 +1 である. よって,an+1 -a と an であるから a1 < a2 であり、 よって は同符号であり, a1 = 1, a2= V3 ① A1 < A2 < A3 < α4 < . . . となることが分かる. よって,{an}は単調増加数列である. 次に適当に am<3と見当をつけると,an+1= V20 +1. 2 3となり,{a}は上に有界である. V23+ よって,{a} は収束する.そこで, lim an = a と置く. このとき, n→+∞ a = √2a +1が成り立ち, α = 1 ±√2 を得る. 今, an >0よりα > 0 で あり,よって, を得る。● lim a = 1 + V2 n→+∞ 16

定義にしたがってというのがよく分かりません😭 優しい方教えてください🙇‍

ワイヤストラスの定理、コーシー列 +1 し、 定義 2.9 (コーシー列) {an} を数列とする。 任意の 0に対し、 ある NEN が存在して,n, Nならば00m| < e となると き、数列{on} はコーシー列(または基本列)であると いう、 並 定理 2.10(コーシーの判定条件) ●収束する数列はコーシー列である。

問2.1の証明が分かりません。 ※1枚目が質問内容、2枚目が仮定

問 2.1 例1 (b), (c) で R" に定義された各種の距離 dp : R" × R” → [0,∞) (p = 1,2,...,∞) において, R” の点列 πm:= (x(m),x(m),...,xmm))∈R(m= R" 2 1,2,･･･) が, 点æ= (π1, 2,...,πn) ∈R" に収束するためには,各k ∈ {1, 2,...,n} に対し (m) →πk (m→8) となることが必要十分であることを示せ.

数列の問題です。画像の問題の解き方が分からないのでどなたか解説よろしくお願いします

152 数列 1, 1, 4, 1, 4, 7, 1, 4, 7, 10, 1, 4, 7, 10, 13, 1, につ いて、 次の問いに答えよ。 (1) 第200 項を求めよ。 (2)初項から第200項までの和を求めよ。 [類 15 近畿大]

問題23 どうやって証明をしたらいいのかわからないです、、 〜かつという共通部分をどう書き表したらいいのか分かりません。 とりあえず1枚目のように解こうとはしたんですが、分からなかったので教えて欲しいです

17723 仮定より、 · VE>0 = NICE) EN, "ne [ n>NE) => \an_X\<ε] YRER, VYER (H) - til = c(x-7 |] -0 ①、②の両方を満たすので、任意のを口に対して、 E-E ・と考えて、N(z)=Ni(e) とおくと、 cx-y1 NCE) n =>> | frans - fras|selan-al f <E @ff (an) = f(a) | Jai = frost≤ = 530 an Jan-12 9/2-81

このフィボナッチ数での整数の求め方が分かりませんわかる方いましたら教えてください🙇‍♀️

課題内容 フィボナッチ数列, 1,1,2,3,5,8,13,... の第 n番目の数を F(n) で表します. このとき,次の af に当てはまる整数を答え よ (配点: 1点, b1点, c1点, d1点, e3点, f3点) ① F(12)=a. ② F(13)=b. ③F(14)=c. ④F(15)=d. ⑤ F(13)^2-F(12)xF(14)=e. xの2乗を表します) ⑥ F(14)^2-F(13)xF(15)=f. (注: x^2は, 添付ファイルは ありません