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「地方中枢都市」は主に経済的な面でそれぞれの地方の中心となる都市のことです。
全国で活動を展開する大企業の本社や支社・支店のオフィスや卸売業が多数立地するという特徴があります。
都市の性格の一側面を表したことばと言えます。
なおこの語が示す範囲（都市）がはっきり確定しているわけではありませんが、おおむね以下のような都市を指すことが多いです。
①東京（特別区部）
②大阪市
③名古屋市
④札幌市、仙台市、広島市、福岡市
⑤金沢市、高松市、新潟市など
なお、①東京は関東地方の地方中枢都市としての性格も有しますが、それより日本の国家的中心都市としての性格の方が際立ちますから、あまり地方中枢都市として語られることはないですね。
②大阪市は近畿地方の地方中枢都市としての性格も有しますが、副次的な国家的中心都市―西日本の中心都市としての性格が強いです。③名古屋市は東海地方あるいは中部地方の地方中枢都市ですが、①②と合わせて「三大都市圏」と呼ばれ国家的な中枢都市の一翼を担う形と見られることもありますから、④のグループとは一線を画します。
また④のうち福岡市は相対的に成長が著しく、頭一つ抜け出した感があります。
⑤は④に比べると中心性を発揮する地方の範囲が小さく、中心地機能の集積も④より随分小さくなります。
一方、「政令指定都市」は、日本の大都市制度の一つである政令指定都市の制度下にある都市です。
これに「指定」されるのは、一義的に都市人口の多さ（法令上は50万人以上、実質は70万人以上）ですので、上記のような都市の経済的な特性などは直接関係ありません。
長文でありがとうございます！
細かいところまでよく分かりました！
助かります！