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太政大臣は天皇の元で働いている官僚のトップです。天皇とか皇族、そして後述の摂関を除けば｢1番偉い人｣です。ただ、平安時代以降は摂政とか関白がその仕事をするので、太政大臣は現実的には名誉職みたいなものとなりました。あくまで天皇の部下で、天皇の指示に従います。
征夷大将軍は、元々は朝廷に従わない蝦夷を討伐する軍隊のトップです。蝦夷は今の東北あたりにいましたが、蝦夷が朝廷軍を攻撃したときにいちいち天皇の許可をもらって反撃していたようでは間に合いません。東北から京都まで使者を送って天皇に相談していたら時間がかかるので、天皇の代理人みたいな感じで、征夷大将軍が天皇に代わって判断を下していました。征夷大将軍になると、天皇に代わって自分の判断で政治を進めることが出来ます。
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